6.1. Extensii ale noţiunii de integrală
În liceu s-a introdus noţiunea de integrală Riemann a unei
funcţii f : [a, b]→ R ca fiind ( ) b
a
f x dx şi am presupus că a, b
sunt finite, iar funcţia f este mărginită pe intervalul [a,b] .
Amintim câteva proprietăţi :
1) Dacă f este continuă pe [a, b] , atunci f este integrabilă pe
[a,b] .
2) Dacă f este monotonă pe [a,b] , atunci f este integrabilă pe
[a,b] .
3) Dacă f este integrabilă pe [a,b] , atunci f este mărginită pe
[a,b] .
Observaţie : reciproca nu este adevărată.
4) Liniaritatea: ( )+ ( ) = ( ) + ( ) b
a
b
a
b
a
(αf x βg x )dx α f x dx β g x dx
pentru orice α ,β ∈ R .
În continuare vom studia câteva generalizări .
6.2. Integrale cu limite infinite
Fie f : [a, b]→ R , continuă pe [a, b] . Rezultă că f este
integrabilă şi ( ) b
a
f x dx există pentru orice b > a .
DEFINIŢIA 6.2.1. : ( ) ∞ =
a
I f x dx 1 este convergentă dacă
( ) →∞
b
b a
lim f x dx există şi este finită.
Deci ( ) ∞ =
a
I f x dx 1 = ( ) →∞
b
b a
lim f x dx dacă limita există şi este
finită .
Dacă limita nu există sau este ± ∞ , atunci 1 I este
divergentă.
DEFINIŢIA 6.2.2. : ( ) −∞
= b I f x dx 2 este convergentă dacă
( ) →−∞
b
a a
lim f x dx există şi este finită.
Deci ( ) −∞
= b I f x dx 2 = ( ) →−∞
b
a a
lim f x dx dacă limita există şi
este finită.
Dacă limita nu există sau este ± ∞ , atunci 2 I este
divergentă.
DEFINIŢIA 6.2.3. : Dacă 1 I şi 2 I sunt convergente,
atunci şi ( ) ∞
−∞
I = f x dx 3 = ( ) −∞
c f x dx + ( ) ∞
c
f x dx , unde c∈R , este
convergentă şi are ca valoare suma 2 1 I + I .
Dacă cel puţin una din integralele 1 I sau 2 I este
divergentă, atunci şi 3 I este divergentă.
Capitolul 6
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
