1. Graduo
  2. Cursuri
  3. Matematică
  4. Analiza matematică și ecuații diferențiale

Analiza matematică și ecuații diferențiale

Previzualizare curs:

Cuprins curs:

1 ELEMENTE DE TEORIA SPAT IILOR METRICE 5
1.1 Introducere 5
1.1.1 Elemente de teoria teoria multimilor 5
1.1.2 Notiunea de aplicatie 6
1.2 De nitia spatiului metric 8
1.3 Multimi de puncte dintr-un spatiu metric 8
1.3.1 Spatii liniare normate 10
1.4 Multimea numerelor reale 12
1.4.1 Multimi marginite de numere reale 12
1.4.2 Intervale si vecinatati 14
1.5 Spatiul Rn 14
1.6 Functii cu valori ^n Rm 16
2 SIRURI SI SERII 19
2.1 Siruri de numere reale 19
2.2 Siruri ^n spatii metrice 23
2.3 Principiul contractiei 25
2.4 Siruri ^n Rp 27
2.5 Serii de numere reale 27
2.5.1 Serii convergente. Proprietati generale 27
2.5.2 Serii cu termeni pozitivi 31
2.5.3 Serii cu termeni oarecare 34
2.6 Serii ^n Rp 37
3 LIMITE DE FUNCT II 39
3.1 Limita unei functii reale de o variabila reala 39
3.1.1 Limita ^ntr-un punct 39
3.1.2 Proprietati ale limitei unei functii 39
3.2 Limita unei functii vectoriale de o variabila reala 41
3.3 Limita unei functii de o variabila vectoriala 42
4 FUNCT II CONTINUE 43
4.1 Continuitatea functiilor reale de o variabila reala 43
4.1.1 Continuitatea ^ntr-un punct 43
4.1.2 Proprietati ale functiilor continue 44
4 CUPRINS
4.1.3 Continuitatea uniforma 46
4.2 Continuitatea functiilor vectoriale 47
4.2.1 Continuitatea ^ntr-un punct 47
4.2.2 Continuitatea uniforma 48
5 DERIVATE SI DIFERENTIALE 49
5.1 Derivata si diferentiala functiilor de o variabila 49
5.1.1 Derivata si diferentiala unei functii reale de o variabila reala 49
5.1.2 Derivata si diferentiala unei functii vectoriale de o variabila reala 50
5.1.3 Derivate si diferentiale de ordin superior 52
5.1.4 Proprietati ale functiilor derivabile 54
5.2 Derivatele si diferentiala functiilor de n variabile 60
5.2.1 Derivatele partiale si diferentiala functiilor reale de n variabile 60
5.2.2 Derivate partiale si diferentiala functiilor vectoriale de n variabile 64
5.2.3 Derivate partiale si diferentiale de ordin superior 65
5.2.4 Derivatele partiale si diferentialele functiilor compuse 67
5.2.5 Proprietati ale functiilor diferentiabile 71
6 FUNCT II DEFINITE IMPLICIT 75
6.1 Functii de nite implicit de o ecuatie 75
6.1.1 Functii reale de o variabila reala 75
6.1.2 Functii reale de n variabile 77
6.2 Functii de nite implicit de un sistem de ecuatii 78
6.3 Transformari punctuale. Derivarea functiilor inverse 79
6.4 Dependenta si independenta functionala 81
6.5 Schimbari de variabile 82
6.5.1 Schimbarea variabilelor independente 82
6.5.2 Schimbari de variabile independente si functii 84
7 EXTREME PENTRU FUNCT II DE MAI MULTE VARIABILE 87
7.1 Puncte de extrem pentru functii de mai multe variabile 87
7.2 Extreme pentru functii de nite implicit 90
7.3 Extreme conditionate 90
8 SIRURI SI SERII DE FUNCT II 95
8.1 Siruri de functii reale 95
8.1.1 Siruri de functii. Multimea de convergenta 95
8.1.2 Functia limita a unui sir de functii 95
8.1.3 Convergenta simpla 96
8.1.4 Convergenta uniforma 96
8.1.5 Proprietati ale sirurilor uniform convergente 97
8.2 Serii de functii 99
8.2.1 Serii de functii. Multimea de convergenta 99
8.2.2 Convergenta simpla a unei serii de functii 99
8.2.3 Convergenta uniforma a unei serii de functii 100
CUPRINS 5
8.2.4 Proprietati ale seriilor uniform convergente 101
8.3 Serii de puteri 102
8.4 Serii Taylor 104

Extras din curs:

Capitolul 1

ELEMENTE DE TEORIA

SPAT IILOR METRICE

1.1 Introducere

1.1.1 Elemente de teoria teoria multimilor

Notiunea de multime este o notiune primara. O multime X este precizata fie prin indicarea

elementelor sale, X = fx1; x2; : : : ; xng, fie prin indicarea unei proprietati P ce

caracterizeaza elementele multimii, X = fx j x are proprietatea Pg.

Daca x este element al multimii X scriem x 2 X, daca x nu este element al multimii

X scriem x =2 X.

Multimile X si Y sunt egale daca sunt formate din aceleasi elemente. Deci

X = Y pentru x 2 X () x 2 Y:

A este submultime sau parte a multimii X si se noteaza A  X sau X  A, daca

x 2 A =) x 2 X.

Evident ca X = Y d.d. X  Y si Y  X.

Multimea care nu contine nici un element se numeste multimea vida, se noteaza cu ; si este submultime a oricarei multimi X.

Multimea partilor unei multimi X se noteaza P(X).

Fie A si B doua multimi oarecare. Multimea A [ B = fx j x 2 A sau x 2 Bg se

numeste reuniunea multimilor A si B, iar multimea A B = fx j x 2 A si x 2 Bg se

numeste intersectia multimilor A si B.

Multimile A si B se numesc disjuncte daca A B = ;. Multimea A n B = fx j x 2 A si x =2 Bg se numeste diferenta multimilor A si B, in aceasta ordine. Daca B  A,

diferenta A n B se noteaza CAB si se numeste complementara multimii B relativa la

multimea A.

Prin produs cartezian al multinilor A1;A2; : : : ;An, in aceasta ordine, intelegem mult

imea sistemelor ordonate de n elemente (n-uple) (a1; a2; : : : ; an) cu ai 2 Ai, i = 1; n,

CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT IILOR METRICE

adica

A1  A2      An = f(a1; a2; : : : ; an); ai 2 Ai; i = 1; ng:

Elementele (a1; a2; : : : ; an) si (b1; b2; : : : ; bn) sunt egale daca ai = bi, i = 1; n.

Daca Ai = A, i = 1; n, se foloseste notatia A  A      A = An.

1.1.2 Notiunea de aplicatie

Fie X si Y doua multimi nevide. Se numeste aplicatie f a multimii X in multimea Y

o corespondenta prin care fiecarui element x 2 X i se asociaza in mod unic un element

y 2 Y .

Orice aplicatie f : X ! Y trebuie conceputa ca ansamblul format din trei elemente:

multimea X numita multimea de definitie, multimea Y numita multimea in care f ia

valori si legea de corespondenta f.

Daca y 2 Y corespunde elementului x 2 X, atunci notam y = f(x) sau x 7! f(x).

^In acest caz y se numeste imaginea lui x prin f sau valoarea aplicatiei f in x, iar x se

numeste contraimaginea sau imaginea inversa a lui y prin f.

Pentru notiunea de aplicatie se mai utilizeaza denumirile de functie, transformare,

operator, sau functionala.

Multimea aplicatiilor definite pe X cu valori in Y se noteaza cu F(X; Y ).

Aplicatiile f1; f2 2 F(X; Y ) se numesc egale, f1 = f2, daca f1(x) = f2(x), 8x 2 X.

Fie aplicatia f : X ! Y si A  X, B  Y . Multimea

f(A) = fy = f(x) j x 2 Ag = fy 2 Y j 9 x 2 A; y = f(x)g  Y

se numeste imaginea multimii A prin f, iar multimea

f

Download gratuit

Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.

Înregistrare Autentificare
Structură de fișiere:
  • Analiza Matematica si Ecuatii Diferentiale.pdf
Alte informații:
Tipuri fișiere:
pdf
Nota:
9.1/10 (9 voturi)
Nr fișiere:
1 fisier
Pagini (total):
263 pagini
Imagini extrase:
263 imagini
Nr cuvinte:
81 434 cuvinte
Nr caractere:
382 835 caractere
Marime:
1003.33KB (arhivat)
Publicat de:
NNT 1 P.
Nivel studiu:
Facultate
Tip document:
Curs
Domeniu:
Matematică
Predat:
la facultate
Materie:
Matematică
Profesorului:
Gheorghe Procopiuc
Sus!