Curs 1
Relatii. Corpul numerelor reale
1 Relatii
Notiunea matematica de relatie are un grad mare de generalitate. Definirea si dezvoltarea
acestei notiuni presupune raportarea la o serie de concepte matematice
elementare precum: element, multime, submultime, apartenenta la o multime, incluziune,
operatii cu multimi, pereche ordonata, produs cartezian. Vom porni de
la premiza ca toate acestea sunt cunoscute. Deasemenea vom presupune cunoscute
elementele de baza ale calculului propozitiilor si predicatelor, cu simbolistica uzuala.
Definitia 1.1. Un triplet R = (A;B;GR) unde A si B sunt doua multimi nevide,
iar GR este o submultime a produsului cartezian A B ; se numeste relatie intre
multimile A si B.
Multimea GR A B se numeste graficul relatiei R:
Fiind data o relatie R = (A;B;GR); vom spune ca elementul a 2 A este in
relatia R cu elementul b 2 B si vom nota aRb; daca (a; b) 2 GR: In cazul
particular B = A vom spune ca R este o relatie pe multimea A. In cele ce
urmeaza vom prezenta c^ateva din principalele tipuri de relatii.
1.1 Relatii pe o multime
Pentru a indica inzestrarea unei multimii A cu o relatie R = (A; A;GR) vom utiliza
in general notatia (A;R): O relatie pe o multime se poate bucura de o serie de
proprietati elementare. Definirea axiomatica a acestora este realizata prin enuntul
urmator.
Definitia 1.2. Fie (A;R): Relatia R se numeste:
- re
exiva, daca (8) a 2 A aRa
- simetrica, daca (8) a; b 2 A aRb ) bRa
- antisimetrica, daca (8) a; b 2 A aRb ^ bRa ) a = b
- tranzitiva, daca (8) a; b; c 2 A aRb ^ bRc ) aRc
- totala, daca (8) a; b 2 A aRb _ bRa
Cele mai importante relatii pe o multime sunt cele de echivalenta si respectiv de
ordine.
Definitia 1.3. O relatie R definita pe o multime A se numeste relatie de echivalenta
daca este re
exiva, simetrica si tranzitiva.
Simbolurile utilizate in general pentru indicarea relatiilor de echivalenta sunt
urmatoarele: =; ;; = ; :
Fie (A;) o multme inzestrata cu o relatie de echivalenta. Pentru fiecare element
a 2 A; definim multmea:
ea = fx 2 Aj x ag
numita clasa de echivalenta a elementului a, relativ la relatia " ":
Definitia 1.4. O familie F P(A) de submultimi (parti) ale multimii A se
numeste partitie a multimii A daca satisface proprietatile:
1) (8) X 2 F X 6= ;
2) (8) X; Y 2 F X Y 6= ; ) X = Y
3) [X2FX = A
Pentru (A;); sa notam:
A= = f ea j a 2 Ag
multimea claselor de echivalenta ale multimii A relativ la relatia " ":
O proprietate importanta a multimii claselor de echivalenta este evidentiata de
teorema urmatoare.
Teorema 1.1. Multimea claselor de echivalenta A=; relativ la o relatie " " de
echivalenta pe multimea A, reprezinta o partitie a multimii A.
O atentie speciala vom acorda in continuare relatiilor de ordine.
Definitia 1.5. O relatie R definita pe o multime A se numeste relatie de ordine
daca este re
exiva, antisimetrica si tranzitiva.
Simbolurile utilizate in general pentru indicarea relatiilor de echivalenta sunt
urmatoarele: ; ; ; v; :
O multime A inzestrata cu o relatie de ordine se numeste multime ordonata
si se noteaza (A;): Daca relatia de ordine este totala atunci multimea A se
numeste total ordonata; in caz contrar, multimea A se numeste partial ordonata.
Mentionam deasemenea urmatoarele notatii conventionale:
a b , b a; a < b , a b ^ a 6= b; a > b , a b ^ a 6= b:
Prezentam in continuare c^ateva notiuni fundamentale legate de conceptul de
marginire in multimi ordonate.
Definitia 1.6. Fie (A;) o multime ordonata si X A o submultime nevida a
multimii A.
Un element a 2 A se numeste:
- majorant al multimii X, daca: (8) x 2 X x a
- minorant al multimii X, daca: (8) x 2 X a x
- cel mai mare element al multimii X, daca apartine multimii X si este un
majorant al acestei multimi
- cel mai mic element al multimii X, daca apartine multimii X si este un
minorant al acestei multimi
- marginea superioara (supremumul) multimii X, daca este cel mai mic
majorant al multimii X
- marginea inferioara (infimumul) multimii X, daca este cel mai mare minorant
al multimii X
Multimea X se numeste marginia daca admite cel putin un minorant (este minorata)
si respectiv cel putin un majorant (este majorata), adica:
Universitatea Transilvania din Brasov
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
