Analiză matematică

1.1 Limita inferioara si superioara a unui sir.

Sir Cauchy.

Fie (an) un sir de numere reale

Notam: ,

Avem, in mod evident () deoarece Ann rezulta caadica sirul ()0ennx este crescator, iar sirul () este descrescator. 0enny

Cum orice sir monoton are limita in R, fie:

Definitia 1. Elementul ,1R(respectiv RL definit mai sus se numeste limita inferioara (respectiv limita superioara) a sirului si se noteaza: 0)(ennanalim sau lim inf (respectiv nanalim sau lim sup ). na

Observatia 1. Din definitia 1 rezulta imediat egalitatile: Nnknkae=supinfknnka+e0infNnna=inflim Nnknkae=infsupknnka+e0sup

pentru orice .

De asemenea, din urmatorul sir de inegalitati evidente:

Exemplul 1. Pentru unde avem: ,

Definitia 2. Sirul se numeste Cauchy (sau fundamental) daca sa avem

Teorema 1. (Criteriul general a lui Cauchy). Un sir de numere reale este convergent daca si numai daca este sir Cauchy.

Demonstratie: Presupunem ca astfel incat sa avem:Luam si fie si deoarece '

Folosind inegalittea: deci sirul este Cauchy. 0)(enna

Reciproc, presupunem ca sirul este Cauchy si fie 0)(enna;0>µ datorita ipotezei astfel incat si sa avem: Nn')(µ',)(µnnNne*)(Np,2µ<+aapn deci .)()(,22'Npnnaaanpnne+<<+µµµ

Luam si fie deoarece '

In mod similar se poate obtine ,limµ<knaa si datorita unicitatii limitei unui sir, obtinem: ,limlimlimRaaannnn==’ adica sirul este convergent. 0)(enna

Teorema 2. Un sir de numere reale este convergent daca si numai daca limita sa inferioara si limita sa superioara sunt reale egale, si, in plus, avem: 0)(ennannnnaaalimlimlim==’

Demonstratie. Daca este convergent, atunci, din teorema 1, rezulta ca este sir Cauchy si, din demonstratia aceleiasi teoreme, obtinem concluzia implicatiei de la stanga la dreapta. 0)(enna0)(enna

Reciproc, presupunem ca si fie RaLl==;0>µ

avem ,nu este un mejorant pentru sirul , prin urmare exista astfel incat: 0)(ennxNn'µ

In mod analog, avem ,infnNnyL>+µ deci µ+L nu este un minorant pentru sirul prin urmare exista un astfel incat: 0)(enny,''Nnµ

Capitolele 1 si 2