NOTIUNI PRELIMINARE
§1. Multimi, relatii binare si functii
Multimi
Prin multime se întelege o colectie de obiecte care vor fi numite elemente. Notiunea de multime, ca orice notiune primara, nu se defineste ca alte notiuni prin genul proxim si diferenta specifica ci se caracterizeaza numind individual elementele sau specificând o proprietate pe care o au elementele sale si nu o au alte obiecte.
Vom nota multimile cu majuscule A, B, C, …, X, Y iar elementele multimilor cu litere mici a, b, c, …, x, y.
Pentru unele multimi care vor fi des utilizate se folosesc notatii consacrate. Se noteaza cu N multimea numerelor naturale, cu Z multimea numerelor întregi, cu Q multimea numerelor rationale, cu R multimea numerelor reale iar cu C multimea numerelor complexe.
Legatura dintre un element si multimea din care face parte este data de relatia "Î" numita relatia de apartenenta. Daca A este o multime si x un element al sau vom scrie x Î A si vom citi "x apartine lui A".
Daca A si B sunt doua multmi, vom spune ca A este o submultime a lui B si vom scrie A Ì B (A este inclusa în B) daca orice element al multimii A este si element al multimii B.
Simbolic scriem A Ì B Û" x, x Î A Þ x Î B.
În teoria multimilor admitem existenta multimii care nu are nici un element, notata cu Æ si numita multimea vida. Multimea vida este o submultime a oricarei multimi.
Doua multimi sunt egale, A = B, daca si numai daca A Ì B si B Ì A.
Relatia de incluziune "Ì" ne permite sa definim clasa partilor unei multimi X, notata cu P(X) si care are ca obiecte toate submultimile multimii X.
Definim în clasa partilor P(X), ale unei multimi X, operatiile:
reuniunea a doua multimi A si B reprezinta multimea
A È B = {x / x Î A sau x Î B}
intersectia a doua multimi A si B reprezinta multimea
A Ç B = { x/ x Î A si x Î B}
Doua multimi se numesc disjuncte daca A Ç B = Æ
diferenta multimilor B si A înseamna multimea
B A = { x/ x Î B si x Ï A}
Daca A Ì B atunci B A se numeste complementara lui A în raport cu B si se noteaza cu CBA. În clasa partilor P(X) ale multimii X, notam cu , complementara lui A în raport cu X, si o vom numi simplu complementara lui A. Este simplu de dovedit ca daca A, B Î P(X) atunci .
produsul cartezian al multimilor A si B înseamna multimea
A ´ B = {(a, b)/ a Î A si b Î B}
Un element (a, b) Î A ´ B se numeste pereche ordonata. Doua perechi ordonate (a1, a2) si (b1, b2) sunt egale daca si numai daca a1 = b1 si a2 = b2.
În mod analog se pot defini operatiile de reuniune, intersectie si produs scalar pentru trei sau mai multe multimi.
Prin produsul cartezian al multimilor X1, X2, …, Xn, întelegem multimea sistemelor ordonate (x1, x2, …, xn) cu xi Î Xi, , adica
Un element al acestui produs cartezian îl vom numi n - upla. Doua n - uple (x1, x2, …, xn) si (y1, y2, …, yn) sunt egale daca si numai daca x1 = y1, x2 = y2, …, xn = yn.
Daca atunci vom folosi notatia .
Numim partitie pe multimea X o familie de parti ale lui X, disjuncte doua câte doua si a caror reuniune este egala cu X.
Cursul prezinta notiuni fundamentale ale algebrei liniare. A fost prezentat in cadrul facultatii de automatica .
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
