Algebră vectorială
§ 2. Dreapta şi planul în spaţiu
§ 3. Geometria diferenţială a curbelor şi suprafeţelor în spaţiu
§ 4. Conice pe ecuaţia generală. Suprafeţe de ordinul II. Sfera
1
28
51
67
Bibliografie 96
§.1. Algebră vectorială
1. Sisteme de coordonate pe dreaptă
Definiţia 1 O dreaptă pe care s-a luat o origine O, o unitate u de măsură şi
un sens de parcurs, se numeşte axă (figura 1).
sens negativ sens pozitiv
O(0) M(x)
u
fig.1.
Punctului M i se asociază x∈R care se numeşte coordonata punctului faţă
de axa considerată şi ea depinde de origine, unitate de măsură şi de sens.
O(0) O'(a)
a
M(x)
M2(x-a)
M1(-x)
fig.2.
Datorită faptului că există un sens pozitiv şi sensul opus este sensul
negativ, punctului M(x) îi corespunde punctul M1(-x).
Dacă luăm o nouă origine O'(a) atunci punctul M are coordonata x faţă de
vechea origine şi coordonata x-a faţă de noua origine (figura 2).
O M M2(x2) 1(x1)
fig.3.
Definiţia 2 Segmentul M1M2
→
unde M1(x1), M2(x2) se numeşte orientat de
la M1 la M2 şi avem : M1M2
→
= {x∈[x1,x2]}, M1M2
→
= x2 - x1 , lungimea
algebrică M1M2 = x2 - x1, M1M2 fiind segmentul neorientat şi
M1M2 = M1M2 (figura 3).
Observaţia 1 Lungimea algebrică este pozitivă dacă M2 este la dreapta lui
M1 şi negativă, în sens contrar, dacă sensul pozitiv este luat de la stânga la
dreapta.
Teorema 1 (Relaţia lui Chasles). Dacă avem punctele M1(x1), M2(x2),
M3(x3), atunci M1M2 + M2M3 + M3M1 = 0.
Demonstraţie Avem: M1M2 = x2 - x1
M2M3 = x3 - x2
M3M1 = x1 - x3
care prin adunare dau relaţia cerută.
Definiţia 3 Fie M1(x1), M2(x2), x1< x2 şi M(x) atunci x =
x1 x2
1
+
+
λ
λ este
coordonata punctului care împarte segmentul M1M2 în raporul λ unde
λ= =
−
−
M M
MM
x x
x x
1
2
1
2
.
Expresia coordonatei se află uşor din λ =
−
−
x x
x x
1
2
sau λx2 - λx1 = x -x1 sau
x(1-λ) = λx2 + x1 sau x =
x1 x2
1
+
+
λ
λ , dacă λ = 1 atunci x =
x1 x2
2
+
şi M este
mijlocul segmentului M1M2 .
Observaţia 2 Dacă avem M(x), coordonata x se mai numeşte şi abscisă, iar
dacă x∈R, axa pe care se află punctul M se numeşte axa numerelor reale sau axa
reală.
UNIVERSITATEA DE ŞTIINŢE AGRICOLE ŞI MEDICINĂ
VETERINARĂ A BANATULUI TIMIŞOARA
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
