2.1 Sfera
Definitia 1.1 Se nume¸ste sfer˘a mul¸timea tuturor punctelor din spa¸tiu pentru care distan¸ta la u punct fix numit
centrul sferei este egal˘a cu un num˘ar numit raza sferei.
Fie centrul sferei C (a, b, c) ¸si raza sferei R.
Teorema 1.1 Punctul M (x, y, z) apar¸tine sferei dac˘a ¸si numai dac˘a coordonatele sale verific˘a ecua¸tia:
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 (2.1.1)
Demonstra¸tie: diatan¸ta de la M la C este egal˘a cu
q
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 care egalat˘a cu R este
echivalent˘a cu (2.1.1).¤
Dac˘a în ecua¸tia de mai sus se fac calculele ¸si se reduc termenii asemenea ob¸tinem:
x2 + y2 + z2 + mx + ny + pz + q = 0 (EGS)
ecua¸tie care poart˘a denumirea de ecua¸tia general˘a a sferei. (EGS) reprezint˘a o sfer˘a cu centrul în punctul
¢2 − q dac˘a expresia de sub radical este pozitiv˘a.
Remarca 1.1 Sfera se mai poate da ¸si folosind ecuatiile parametrice: ⎧⎨
⎩
x = R cos ϕ sin ϑ + a
y = R sin ϕ sin ϑ + b
z = R cos ϑ + c
, ϕ∈ [0, 2π] , ϑ ∈ [0, π] (EPS)
unde parametrii sunt unghiurile ϕ, ϑ din figura de mai jos:
M
q
O
x y
z
f
pentru ϕ constant se ob¸tin pe sfer˘a jum˘at˘a¸ti de cecuri mari ("meridiane"), iar pentru ϑ constant se ob¸tin pe sfer˘a
cercuri ("paralele").
- 1-
Legat de sfer˘a ne propunem s˘a determin˘am ecau¸tia unui plan tangent la sfer˘a într-un punct de pe sfer˘a. Fie
M0 (x0, y0, z0) un punct pe sfer˘a.
Teorema 1.2 Ecua¸tia planului tangent la sfer˘a în punctul M0 este:
(x − a) (x0 − a) + (y − b) (y0 − b) + (z − c) (z0 − c) = R2 (EPTS)
Demonstra¸tie: Planul tangent la sfera˘ înM0 este determinat deM0 s¸i normala C−−M−→0 (planul este perpendicular
pe raz˘a), deci ecua¸tia sa este:
(x − x0) (x0 − a) + (y − y0) (y0 − b) + (z − z0) (z0 − c) = 0
Dar x − x0 = (x − a) − (x0 − a) , .. care înlocuite în ecua¸tia de mai sus dau:
(x − a) (x0 − a) + (y − b) (y0 − b) + (z − c) (z0 − c) −
³
(x0 − a)2 + (y0 − b)2 + (z0 − c)2
´
= 0
¸Tinând cont de faptul c˘a coordonatele lui M0 verific˘a ecau¸tia sferei, rezult˘a (EPTS).¤
Remarca 1.2 Ecuatia planului tangent la sfer˘a se ob¸tine din (EGS) prin dedublare :
(x − a)2 = (x − a) (x − a) → (x − a) (x0 − a) , ...
Remarca 1.3 Dac˘a sfera este dat˘a sub form˘a general˘a atunci ecuatia planului tangent în punctul M0 de pe sfer˘a
este:
xx0 + yy0 + zz0 + m
x + x0
2
+ n
y + y0
2
+ p
z + z0
2
+ q = 0
dedublarea fiind: x2 = xx → xx0, x = x+x
2 → x+x0
2 .
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
