Curs 1
Reducerea unei matrici la forma scar˘a
1.1 Rezolvarea unui sistem prin metoda reducerii la forma scar˘a
O problem˘a ce apare ˆın numeroase domenii din economie s¸i inginerie este aceea a rezolv˘arii
unui sistem de m ecuat¸ii algebrice cu n necunoscute:
a11x1 + a12x2 + ¢ ¢ ¢ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ¢ ¢ ¢ a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + ¢ ¢ ¢ amnxn = bm
(1.1)
Coeficient¸ii aij , i = 1;m, j = 1; n, sunt numere reale sau complexe.
Exemplele ilustrate s¸i rezolvate ˆın fis¸ierul Recapitulare_Liceu.pdf, cu metode studiate la
liceu evident¸iaz˘a c˘a pentru un sistem de n ecuat¸ii liniare cu n necunoscute (n ¸ 4), compatibil
determinat, calculul determinant¸ilor de ordin n implic˘a un volum mare de calcul, la fel ca s¸i calculul
inversei matricii sistemului (pentru rezolvarea matricial˘a). La fel, determinarea rangului
unei matrici A de tip m£n, cu m sau n ¸ 4, prin calculul determinant¸ilor de ordin maxim, etc,
este foarte laborioas˘a. Cum ˆın problemele practice de inginerie s¸i economie pot ap˘area sisteme
de ecuat¸ii algebrice cu multe necunoscute, ar fi avatajos s˘a avem o metod˘a exact˘a s¸i rapid˘a de
detectare a compatibilit˘at¸ii, sau incompatibilit˘at¸ii sistemelor liniare (deci de calcul a rangului
matricii sistemului f˘ar˘a a calcula determinant¸i asociat¸i), precum s¸i de rezolvare a acestora, ˆın
caz de compatibilitate.
Cel mai simplu se rezolv˘a un sistem de n ecuat¸ii liniare cu n necunoscute de form˘a triunghiular
˘a, adic˘a de forma:
a11x1 + a12x12 + ¢ ¢ ¢ + a1nxn = b1
a22x22 + ¢ ¢ ¢ + a2nxn = b2
...
...
annxn = bn;
(1.2)
unde coeficient¸ii aii 6= 0, i = 1; n. Matricea unui astfel de sistem se numes¸te matrice superior
triunghiular˘a:
1
2 Cursul 1, Algebr˘a–Geometrie c° E. Petris¸or, octombrie 2007
A =
2
6664
a11 a12 : : : a1n
0 a22 : : : a2n
...
...
: : :
...
0 0 : : : ann
3
7775
(1.3)
Un sistem triunghiular este compatibil determinat, deoarece determinantul det(A)= a11a22 ¢ ¢ ¢ ann 6=
0 s¸i se rezolv˘a prin metoda substitut¸iei inverse, adic˘a se rezolv˘a succesiv ecuat¸iile n; n ¡ 1; : : : ; 2; 1. Din ultima ecuat¸ie se calculeaz˘a xn = bn=ann, care se introduce ˆın ecuat¸ia n ¡ 1,
ce se rezolv˘a apoi ˆın raport cu xn¡1, s¸i as¸a mai departe, pˆan˘a ajungem la rezolvarea ecuat¸iei 1.
Avem deci urm˘atorul
Algoritm de rezolvare a unui sistem ˆın forma triunghiular˘a
² se calculeaz˘a xn = bn=ann;
² pentru i descrescˆand de la n ¡ 1 la 1, calculeaz˘a:
xi =
1
aii
(bi ¡ ai;i+1xi+1 ¡ ai;i+2xi+2 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ ainxn)
1.2 Reducerea unei matrici la forma scar˘a pe linii
ˆIn cele ce urmeaz˘a vom ar˘ata c˘a orice sistem de n ecuat¸ii cu n necunoscute, compatibil determinat
se poate reduce printr-un s¸ir de transform˘ari succesive numite transform˘ari elementare pe
linie la forma triunghiular˘a, iar un sistem de m ecuat¸ii liniare cu n necunoscute, se poate reduce
la o form˘a cvasitriunghiular˘a numit˘a s¸i forma scar˘a pe linie.
Fix˘am urm˘atoarele notat¸ii pentru liniile, respectiv coloanele unei matrici A de tip m £ n
cu elemente reale sau complexe. Not˘am prin Ai; : linia i a matricii s¸i prin A:; j coloana j,
i = 1;m, j = 1; n.
Definit¸ia 1.2.1 O matrice S 2 Mmn(R) are forma scar˘a pe linii dac˘a verific˘a urm˘atoarele
dou˘a propriet˘at¸i:
1. Dac˘a o linie Si;: are toate elementele 0 atunci toate liniile de sub aceasta au elementele
zero: adica Sj;: = [ 0 0 ¢ ¢ ¢ 0] , cu i < j · m;
2. Dac˘a primul element nenul dintr-o linie Si;: este sij , atunci ˆın coloanele S:;1; S:;2; : : : ; S:j
toate elementele de sub pozit¸ia i sunt nule.
Matricea urm˘atoare ilustreaz˘a particularit˘at¸ile din definit¸ie. Elementele notate prin F simbolizeaz
˘a elemente nenule. Elementele ¤ pot fi nule sau nenule.
S =
2
66664
F ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ 0 0 F ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ 0 0 0 F ¤ ¤ ¤ ¤ 0 0 0 0 0 0 F ¤ 0 0 0 0 0 0 0 0
3
77775
à i (1.4)
Cursul 1, Algebr˘a–Geometrie c° E. Petris¸or, octombrie 2007 3
Un caz particular de matrice ˆın forma scar˘a pe linie este matricea p˘atratic˘a triunghiular˘a. Urm˘atoarele
matrici au forma scar˘a:
S1 =
2
66664
7 ¡3 1 ¡6
0 2 ¡8 ¡1
0 0 ¡3 5
0 0 0 ¡4
0 0 0 0
3
77775
S2 =
2
664
¡2 5 0 3
0 4 ¡7 1
0 0 2 ¡8
0 0 0 0
3
775
S3 =
2
664
¡6 2 5 0 1
0 1 ¡3 ¡1 2
0 0 0 1 ¡5
0 0 0 0 ¡3
3
775
Primul element nenul de pe fiecare linie a unei matrici ˆın forma scar˘a pe linie se numes¸te
pivot (ˆın 1.4 pivotul este notat F).
Definit¸ia 1.2.2 Dou˘a sisteme demecuat¸ii liniare cu n necunoscute se numesc echivalente dac˘a
mult¸imea solut¸iilor este aceeas¸i pentru ambele sisteme.
Consider˘am sistemul de ecuat¸ii liniare (1.1) s¸i not˘am cu Eci ecuat¸ia a i-a din sistem, i.e.:
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
