Algebră

1. Elemente de algebrã matricealã utile analizei prin elemente finite

Un sistem de ecuaţii liniare se poate scrie sub forma:

sub formã matricealã, sistemul de ecuaţii mai poate fi scris şi sub forma:

[A] {x}= {b}

sau:

în care [A] este matricea coeficienţilor, {x} reprezintã matricea necunoscutelor iar {b} constituie matricea constantelor.

Operaţiile cu matrice se pot defini astfel:

Transpusa unei matrice [A] se noteazã cu [A]T, şi este definitã astfel:

Adunarea ( scãderea ) a douã matrice. Matricele se pot aduna ( scãdea ) dacã sunt compatibile, adicã au dimensiuni de acelaşi ordin, de exemplu:

care se mai poate scrie sub forma:

[A]+[B]=[C]

Scãderea se efectueazã dupã aceleaşi reguli.

Înmulţirea a douã matrice

Douã matrice se pot înmulţi dacã sunt conforme, adicã dacã numãrul coloanelor din prima matrice este egal cu numãrul liniilor din a doua matrice, ceea ce este echivalent cu [A]mxn [B]pxr=[C]mxr , cu m=p, şi:

De exemplu:

A rezultat cã o matrice se înmulţeşte, sau se împarte cu un numãr k, înmulţind, respectiv împãrţind toate elementele acesteia prin k.

Transpusa unui produs

Aceastã operaţie se efectueazã potrivit cu relaţia care se exemplificã prin urmãtoarea aplicaţie:

Suma de produse

În analiza prin elemente finite se întâlneşte adesea expresia lucrului mecanic al forţelor exterioare sub forma sumei de produse dintre forţe şi deplasãri, astfel:

în care:

şi

Noţiunea de matrice transpusã este aici foarte utilã, putându-se scrie:

Matricea asociatã sau reciprocã

Matricea asociatã sau reciprocã [A*] a matricei [A] este matricea transpusã a matricei complementelor algebrice ale lui [A]. Ca aplicaţie numericã, fie matricea:

cãreia i se cautã reciproca.

În primul rând se precizeazã cã [A] trebuie sã fie o matrice pãtraticã. Procedând conform definiţiei, în prima etapã se obţine:

în care elementele matricei, respectiv complementele algebrice ale lui [A], sunt minorii determinantului [A] înmulţind cu (-1)i+j . În final, rezultã:

Prin evaluarea produsului matriceal:

se obţine o matrice diagonalã în care toate elementele de pe diagonala principalã sunt egale cu valoarea determinantului:

Aceasta este o proprietate generalã a produsului unei matrice cu matricea asociatã acesteia.

Curs 8