Teoria Mulțimilor Fuzzy

1. Incertitudine şi imprecizie

Logica clasică considera valoarea de adevăr a propoziţiilor în termeni de adevărat sau fals.

Legea terţului exclus a lui Aristotel făcea imposibilă o altă variantă. În viaţa de zi cu zi, ne

confruntăm totuşi cu foarte multe situaţii în care o astfel de abordare este nerealistă. Să considerăm

afirmaţia „cerul este albastru”. Uneori cerul este într-adevăr albastru, când afară este senin. Dar

dacă sunt nori? Dar noaptea? Este clar că o manieră strictă de evaluare a valorii de adevăr a

propoziţiilor nu coincide cu modul mult mai flexibil în care gândesc oamenii, în condiţii de

incompletitudine.

Incompletitudinea unei informaţii se exprimă pe două scări:

• scara incertitudinii se referă la încrederea care i se acordă informaţiei (dacă sursa de

informaţie, instrumentul de măsură sau expertul sunt complet siguri, demni de încredere,

informaţia este certă);

• scara impreciziei se referă la conţinutul informaţional (informaţia este precisă dacă

mulţimea valorilor specificate în enunţul corespunzător este single-ton, adică are o valoare

unică).

Pentru a exemplifica aceste noţiuni, să considerăm exprimarea unor opinii despre rezultatele

recensământului din 2002:

• „Institutul Naţional de Statistică a precizat că la 18 martie 2002, populaţia stabilă a

României era de 21.698.181 locuitori.” Aceasta este o ştire sigură, deoarece e o informaţie

oficială şi este precisă. Aşadar, este o informaţie completă;

• „Populaţia României este în mod sigur sub 22 milioane de locuitori.” Avem de-a face aici cu

o informaţie certă, dar imprecisă (teoretic, valoarea aparţine intervalului 0 – 22.000.000);

• „Cred că populaţia României este de 21.500.000 locuitori.” Informaţia este incertă („cred”),

dar precisă (are o valoare bine definită, chiar dacă din punct de vedere pragmatic este

incorectă);

• „Am impresia că rezultatul era în jur de 21 de milioane.” Informaţia este incertă şi

imprecisă;

• „N-am nici cea mai mică idee.” În acest caz, informaţia nu este deloc semnificativă, toate

valorile sunt egal probabile iar gradele de incertitudine şi de imprecizie sunt maxime.

Un suport teoretic valoros care tratează incompletitudinea este teoria mulţimilor fuzzy.

2. Logica fuzzy. Mulţimi fuzzy

Un tip incipient de logică fuzzy a apărut încă din 1920, propus de matematicianul polonez

Jan Łukasiewicz (inventatorul notaţiei poloneze). Sistemul său permitea extinderea valorii de

adevăr a unei propoziţii la toate numerele reale din intervalul [0,1]. Un număr din acest interval era

interpretat drept posibilitatea ca propoziţia considerată să fie adevărată sau falsă. Aceste cercetări

au dus la apariţia teoriei posibilităţii, o tehnică de raţionament în condiţii de inexactitate.

În 1965, Lotfi Zadeh a extins teoria posibilităţii într-un sistem formal de logică matematică.

De asemenea, a adus în discuţie modalităţile de lucru cu termeni nuanţaţi ai limbajului natural.

Aceast instrument de reprezentare şi manipulare a termenilor nuanţaţi se numeşte logica fuzzy.

Logica tradiţională consideră că un obiect poate aparţine sau nu unei mulţimi. Logica fuzzy permite

o interpretare mai flexibilă a noţiunii de apartenenţă. Astfel, mai multe obiecte pot aparţine unei

mulţimi în grade diferite. De exemplu, dacă avem în vedere mulţimea oamenilor tineri. Un copil de

10 ani e cu siguranţă tânăr, în timp ce o persoană de 60 de ani cu siguranţă nu. Dar un om de 30 de

ani? Sau de 40? În acest caz, putem afirma că persoana de 30 de ani aparţine mulţimii respective

într-o măsură mai mare decât cea de 40.

Fie X universul discursului, cu elemente notate x. O mulţime fuzzy A a universului de

discurs X este caracterizată de o funcţie de apartenenţă (x) A μ care asociază fiecărui element x un

grad de apartenenţă la mulţimea A:

(x) : X →[0,1] A μ

Pentru a reprezenta o mulţime fuzzy, trebuie să-i definim mai întâi funcţia de apartenenţă. În

acest caz, o mulţime fuzzy A este complet definită de mulţimea tuplelor:

A {(x, (x)) | x X} A = μ ∈

Dacă X este o mulţime finită X = {x1, ... , xn}, atunci se foloseşte de multe ori notaţia:

n n A / x ... / x 1 1 = μ + +μ

Să presupunem că pentru exemplul amintit mai sus, cu variabila lingvistic㠄tânăr”, avem

universul discursului X = {0, 20, 30, 50} şi următoarea funcţie de apartenenţă:

A = 0/1 + 20/0,9 + 30/0,7 + 50/0, cu semnificaţia: o persoană de 20 de ani aparţine mulţimii

oamenilor tineri în proporţie de 90%, una de 30 de ani în proporţie de 70% iar una de 50 de ani nu

aparţine mulţimii (gradul său de apartenenţă este 0). Aceste lucruri se reprezintă grafic astfel:

cursul 11