Aripa de Anvergură Finită în Regim Incompresibil

1. Teoria clasică a aripii de anvergură finită

Se va analiza aripa în fluid ideal. Aripa de anvergură finită este echivalentă cu:

- un sistem de vârtejuri legate de intensitate , având o direcţie paralelă aproximativ cu anvergura

- un sistem de vârtejuri legate de intensitate , care se desprind de la bordul de fugă şi au o direcţie paralelă cu cea a curentului. Ele formează o pânză de vârtejuri care se întinde teoretic la infinit aval.

Cu aceste precizări, în modelarea clasică se porneşte de la expresia forţei aerodinamice rezultante pe aripă:

(1)

unde D este domeniul care include aripa şi dâra. Deoarece pe dâră nu se pot exercita forţe, am exprimat în final integrala pe domeniul Da al aripii. Pe de altă parte,

(2)

iar este viteza medie creată de către stratul de vârtejuri. Dar este paralel cu , astfel că expresia (1) devine:

(3)

Expresia vitezei medii creată de către stratul de vârtejuri se poate exprima sub forma:

(4)

unde, conform legii Biot-Savart,

,

(5)

Introducând (4) şi (5) în (3), se obţine:

(6)

- Primul termen din partea dreaptă a relaţiei (6) reprezintă portanţa (perpendiculară pe planul format de şi ). Ţinând seama că:

unde A(y) este aria secţiunii aripii la distanţa y, iar (y) circulaţia în aceeaşi secţiune.

(7)

Al doilea termen din membrul drept al relaţiei (6) este nul, [ ].

- În fine, al treilea termen descrie rezistenţa la înaintare (indusă) a aripii. După unele calcule, se obţine

(8)

unde expresia vitezei induse este

(9)

Ecuaţiile (7-9) arată că determinarea portanţei şi rezistenţei la înaintare (precum şi a vitezei induse) depind de determinarea distribuţiei pe anvergură a circulaţiei. În cele ce urmează, ne vom ocupa de această problemă.

2. Modele fizice pentru aripi subţiri

2.1. Modelul cu o potcoavă de vârtej

În acest model, distribuţia circulaţiei pe anvergură este aproximată ca fiind constantă. În felul acesta, apare conceptual o potcoavă de vârtej de intensitate 0, care cuprinde un vârtej legat de pe aripă, plasat într-o anumită poziţie pe coardă şi două ramuri semiinfinite de vârtej, fiecare de aceeaşi intensitate 0, plecând de pe aripă şi întinzându-se nelimitat în aval. Observăm din Fig. 3 că ramurile paralele ale potcoavei de vârtej nu sunt plasate chiar la capătul aripii, ci la o distanţă b’/2 faţă de axul de simetrie al avionului. Se obişnuieşte a se numi mărimea b’ anvergură redusă.

Fig. 3. Modelul cu o potcoavă de vârtej.

2.2. Modelul lui Prandtl (modelul liniei portante drepte)

Unghiul de incidenţă efectiv într-o secţiune a aripii plasată la distanţa y de axul de simetrie al avionului se poate exprima sub forma:

(10)

unde  este unghiul de incidenţă iar i este unghiul indus, datorat existenţei vitezei induse w. El se poate exprima cu formula: