Teoria Elasticitatii

Curs 1: 27.02.2012

TEORIA ELASTICITĂŢII

Mecanica: Studiză mişcarea sau echilibrul corpurilor sub acţiunea forţelor executate asupra lor.

Elasticitatea: Propietatea unui corp de a-şi modifica forma şi dimensiunile sub acţiunea unor forţe exterioare şi de a reveni de la sine la forma şi dimensiunile iniţiale după încetarea forţelor exterioare care l-au deformat.

Structura: Mod de organizare internă , de alcătuire a unui corp sau a unui sistem; mod de asociere a componenţilor unui corp sau a unui întreg organizat, caracterizat prin forma şi dimensiunile ficărui element component, cum şi prin aranjarea lor, unul faţă de altul.

Scurt istoric:

- 1675: Robert Hooke;

- 1807: Thomas Yung: modulul de elasticitate;

- 1828: Cauchy: formularea tensiunilor generalizate;

- 1887: Voigt: element de volum reprezentativ;

- 1909: Cosserat: deformarea unui corp este descrisă de doi vectori independenţi (deplasare şi rotaţie).

Mediul se compune din elemente materiale cu şase grade de libertate.

Obiectul teoriei elasticităţii: Determinarea stării de tensiune şi deformaţii, determinarea deplasărilor în anumite puncte în interiorul corpurilor considerate ideal elastice indiferent de forma şi de natura din care sunt alcătuite corpurile, dar aflate în stare de echilibru static sau dinamic, sub acţiunea unor încercări cunoscute.

Scopul: Elaborarea unor metode cât mai exacte la rezistenţă, rigiditate şi stabilitate la structură.

Rezistenţa materialelor: Ramura mecanicii care se ocupă cu studiul comportării corpurilor deformabile când se exercită asupra lor forţe din exterior şi cu studiul dimensiunilor pe care acestea trebuie să le aibă ca să nu îşi modifice forma.

Rigiditatea: Reprezintă propietetea corpurilor de a nu se deforma sub acţiunea forţelor care se execută asupra lor.

Stabilitatea: Reprezintă propietatea unui corp de a-şi menţine poziţia sau de a reveni la forma iniţială.

Comparaţia între rezistenţa materialelor şi teoria elasticităţii:

- Asemănare:

• acelaşi obiect de studiu;

- Deosebiri:

• în rezistenţa materialelor se urmăreşte stabilirea prin formule simple, uşor de aplicat, a dimensiunilor structurilor pronind de la unele ipoteze restrictive;

• în teoria elasticităţii se urmăreşte rezolvarea exactă a problemelor fără a impune o formă elementului de structură studiat; metodele de rezolvare sunt generale şi soluţile obţinute se obţin cu ajutorul unor elemente de matematică mai avansate;

• rezistenţa materialelor studiază în general elemente de structuri care au o dimensiune preponderentă (denumite corpuri cu fibră medie: grinzi , fire, stâlpi);

• în teoria elasticităţii se studiază elemente de structuri, în general altele decât cele studiate în rezistenţa materialelor;

• in teoria elasticităţii se studiază trei aspecte de bază:

1. Aspectul geometric sau al deformaţilor: se scriu condiţii de contiunitate şi se obţin ecuaţii geometrice;

2. Aspectul static: se scriu ecuaţii de echilibru şi se obţin ecuaţii statice;

3. Aspectul fizic: se scriu condiţii de elasticitate şi se obţin ecuaţii fizice.

Diferenţe între rezistenţa materialelor şi teoria elasticităţii:

- În funcţie de legătura dintre forţele exterioare şi tensiunile din interiorul elementelor de structură:

• în rezistenţa materialelor se scriu ecuaţii sub formă globală pronind de la relaţii de echivalenţă între tensiunile pe o secţiune şi eforturile secţionale;

• în teoria elasticităţii se utilizează condiţile la limită (condiţii pe/de contur), care exprimă faptul că trebuie să fie respectate condiţii de echilibru pentru toate elementele de volum din interiorul corpului, dar şi pentru elementele de pe conturul său.

- Din punct de vedere al aparatului matematic utilizat:

• în rezistenţa materialelor, ecuaţiile de echilibru conduc la ecuaţii alegebrice;

• în teoria elasticităţii , ecuaţiile de echilibru conduc la ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale.

Concluzii

1. Elasticitatea(structurală) elimină ipotezele restrictive din rezistenţa materialelor şi scrie ecuaţile geometrice pe baza ipotezei mult mai generale a continuităţii deformaţilor.

2. Metodele elasticităţii mai riguroase pot fi aplicate şi elementele studiate în rezistenţa materialelor.

3. Cu ajutorul elasticităţii se pot rezolva mult mai multe aplicaţii care nu pot fi aplicate în rezistenţa materialelor.