Probleme Unidimensionale

1 Particula libera.

Cel mai simplu caz de analizat este cel în care

adica, cazul particulei libere (asupra particulei nu actioneaza nici o forta, )

Ecuatia Schrödinger atemporala este în acest caz

(5.1)

In cazul unidimensional, ecuatia devine:

care este o ecuatie diferentiala ordinara. Notând

(5.2)

rezulta ecuatia

care are solutia generala:

(5.3)

cu const.

Observatie:

nu poate fi complex, deoarece în acel caz, functia de unda , adica ar creste exponential la .

Energia (valorile proprii ale operatorului hamiltonian pentru particula libera) este

(5.4)

Rezulta ca , adica spectrul energetic este continuu, rezultat de asteptat pentru energia unei particule libere.

La fiecare valoare a energiei exista doua functii proprii liniar independente , fiecare valoare proprie a energiei este dublu degenerata (gradul de degenerare al unei valori proprii este dat de numarul functiilor proprii liniar independente corespunzatoare).

5.1.1 Functiile proprii ale impulsului

Functiile proprii ale hamiltonianului particulei libera

pot fi scrise sub forma

(5.5)

unde , sau

(5.6)

unde este impulsul particulei.

Ecuatia de valori proprii pentru operatorul impulseste

Functiile proprii ale operatorului impuls sunt

unde este valoarea proprie a operatorului impuls , sunt si functii proprii ale hamiltonianului particulei libere.

Valorile proprii sunt reale, adica spectrul operatorului este continuu si ia valori de la la ( sau ).