Oscilații și Unde

Cinematica oscilatorului armonic este data de relatiile 1.8, 1.11 si 1.12. A, ? si ? sunt parametri independenti; A si ? pot fi determinati numai din conditiile initiale iar ? din conditiile dinamice ale sistemului, asa cum vom vedea in cele ce urmeaza. Miscarea este periodica cu perioada , independenta de amplitudine.

Forta care genereaza oscilatia armonica este de tip elastic, proportionala cu deplasarea fata de pozitia de echilibru, cu semn negativ, adica F = - kx si Se observa ca pulsatia si, deci, perioada miscarii sunt determinate de valoarea masei punctului material si de caracteristicile fortei elastice, adica de conditiile initiale.

Pentru un sistem ce executa o miscare oscilatorie, solutia de tip oscilator armonic se obtine in limitele in care forta care determina miscarea este liniara in deplasare sau, la o dezvoltare in serie in jurul pozitiei de echilibru termenii de ordin superior pot fi neglijati.

Proprietatile ecuatiei diferentiale a oscilatorului armonic

Ecuatia diferentiala a oscilatorului armonic

(1.14)

este o ecuatie diferentiala de ordinul al doilea, liniara, omogena si cu coeficienti constanti. Se poate verifica imediat ca daca x(t) este o solutie a ecuatiei (1.14), atunci si ax(t), cu a o constanta este o solutie a aceleiasi ecuatii. De asemenea, daca y(t) este o solutie, atunci si z(t) = x(t) + y(t) verifica relatia (1.14).

Intr-adevar,

si se observa ca proprietatea este adevarata datorita liniaritatii ecuatiei (1.14).

Se demonstreaza ca o ecuatie de tipul oscilatorului armonic admite doua solutii independente si ca oricare solutie se poate exprima ca o combinatie liniara a acestor solutii care, in domeniul real, sunt functiile si Solutia generala a unei ecuatii de forma (1.14) este, deci,

care poate fi scrisa in doua moduri

, cu si

, cu si (2.1)

Din (1.15) rezulta ca

, ,

Ecuatia diferentiala neomogena care corespunde relatiei (1.14) este

(2.2)

unde f(t) este o functie generica ce depinde de timp si care, in particular, poate fi constanta.

Daca xp(t) este o solutie particulara a ecuatiei neomogene, solutia generala a acestei ecuatii va fi

. (2.3)

Fie x1(t) solutia ecuatiei (2.2) corespunzatoare functiei f1(t), respectiv x2(t) solutia corespunzatoare functiei f2(t). Atunci, pentru f1(t)+ f2(t), solutia va fi x1(t)+x2(t).

Deci,

Acest rezultat, care este consecinta liniaritatii ecuatiei, se numeste principiul superpozitiei: daca intr-o situatie determinata exista o solutie a ecuatiei de miscare iar intr-o situatie diversa o alta solutie, pentru verificarea simultana a celor doua solutii se considera drept solutie suma celor doua (pentru ca contemporaneitatea nu altereaza in nici un mod situatiile preexistente)