Coordonate si viteze generalizate. Spatiu de configuratie.
Mecanica analitica este o metoda generala care se bazeaza pe principii variationale.
Un sistem mecanic este supus la legaturi daca i se impun anumite restrictii geometrice, adica exista o dependenta functionala intre coordonate, viteze si timp
f(rr1, rr2, . . . , rrn, vr1, 2, . . . , n, t) = 0 (1.1) vrvr
In lipsa unor legaturi, configuratia unui sistem de n puncte materiale va fi determinata la un moment dat de 3n coordonate carteziene x1, y1, z1, . . . , xn, yn, zn. Un astfel de sistem are 3n grade de libertate care definesc univoc pozitia in spatiu la un moment dat a tuturor punctelor din sistem in raport cu un sistem de referinta. Daca intre cele 3n coordonate exista l relatii de legatura, numarul gradelor de libertate se reduce la f = 3n-l. In acest caz configuratia sistemului se poate defini daca se cunosc numai f coordonate independente q1, q2, . . . , qf numite coordonate generalizate
q1 = q1(x1, y1, z1, . . . , xn, yn, zn)
................................................ (1.2)
qf = qf (x1, y1, z1, . . . , xn, yn, zn)
Meanica analitica are avantajul ca elimina relatiile de legatura.
In mecanica o coordonata generalizata poate fi o distanta sau un unghi, in timp ce in domeniul electromagnetismului putem considera drept coordonata generalizata o sarcina electrica sau un flux magnetic.
Vitezele generalizate se exprima prin relatiile:
q&i = dtdqi, i = 1, 2, . . . , f (1.3)
Starea mecanica a sistemului de n puncte materiale cu f grade de libertate este complet determinata de 2f parametri si anume de cele f coordonate generalizate si cele f viteze generalizate. Ne putem imagina un spatiu cu f dimensiuni in care un punct figurativ determinat de marimile q1, q2, . . . , qf sa reprezinte configuratia sistemului la un moment dat, adica pozitia tuturor punctelor materiale in raport cu un referential. Acest spatiu se numeste spatiu de configuratie. La trecerea sistemului de la o stare initiala ?0 la o alta stare ?, punctul reprezentativ va descrie o traiectorie in spatiul de configuratie, reprezentata prin ecuatiile:
q1 = q1(t), q2 = q2(t), . . . , qf = qf(t) (1.4)
2. Ecuatiile Lagrange de speta I-a si a II-a
Consideram o particula M care descrie o curba plana. Daca particula ar fi libera, am avea 3 grade de libertate si deci trei coordonate generalizate. Deoarece avem o restrictie legata de miscarea particulei intr-un plan, rezulta ca avem o legatura (z = 0) si deci pentru descrierea miscarii sunt suficiente doua coordonate generalizate r si ?, numite coordonate polare plane.
Din figura rezulta:
x = r cos ?
y = r sin ? (1.5)
- 2 -
rr = x + y = r? (1.6) irjrr
?r = cos ? + irjr sin ? (1.7)
x& = r& cos ? - r ? sin ? &
y& = r&sin ? + r cos ? (1.8) ?&
vr = + x&iry&jr = r&(cos ? + irjrsin ?) + r(- ?&irsin ? + jrcos ?)
vr = r&?r + r? (1.9) &?r
?r = - sin ? + irjrcos ? (1.10)
?r este versorul directiei variabilei rr, iar ?r este versorul perpendicular in fiecare moment pe . si ?ri j sunt versorii axelor Ox si Oy si au marimea egala cu unitatea si o directie care se pastreaza.
Din relatiile (1.7) si (1.10) obtinem:
?&r = - sin ? + ir?&jr?&cos ? = ? &?r
?&r = - cos ? - ir?&jr?&sin ? = - ?&?r (1.11)
Prin derivarea relatiei (1.9) obtinem acceleratia ar:
ar = v&r = r&&?r + r&?&r + r&?&?r + r?&&?r + r?&?&r = r&&?r + r&?&?r +
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
