Distribuția Canonică

Izolarea completă de exterior a unui sistem fizic este dificilă din punct de vedere experimental.Din acest motiv , sistemul termodinamic se aduce într-o stare de echilibru nu izolându-le complet de exterior , ci punându-le în contact cu un termostat. În acest fel sistemul arenumărul de particule N, volumul V şi temperatura T bine determinate, căreia îi corespundeo anumită distribuţie a punctelor figurative în spaţiul fazelor numită distribuţie canonică

N,V,T=constant=distribuţie canonică

În cazul distribuţiei canonice sistemul are posibilitatea să schimbe energie cu termostatul, astfel încăt energia lui nu mai are o valoare bine determinată,ea poate fluctua în jurul unei valori foarte probabile.

Termostatul se consideră un rezervor mare de energie în comparaţie cu sistemul cu care este pus în contact, astfel încât schimbul de energie care are loc între termostat şi sistem nu poate schimba starea termodinamică a termostatului.

Energia totală, a sistemului şi a termostatului E=E1+E2 rămâne constantă , cu toate că energiile E1 şi E2 pot să varieze chiar şi în starea de echilibru termodinamic.

Să determinăm expresia densităţii de probabilitate pentru un sistem care se află în contact cu un termostat.Sistemul şi termostatul au numărul de particule N1 şi N2 cu N1 << N2

Calculăm probabilitatea ca sistemul să se afle în elementul de volum dΓ1 din spaţiul fazelor, independent de starea în care se află termostatul.

Se poate explica densitatea de stări ω2(E-E1) din formula lui Boltzmann, adică

de unde,

Energia totală E este mult mai mare decât energia sistemului E1, deoarece ea conţine şi energia termostatului E2 care este mult mai mare în comparaţie cu energia sistemului. Din acest motiv se poate dezvolta în serie funcţia S2(E-E1) după puterile lui E1. Oprind numai primii termeni, obţinem:

deoarece , în care T este temperatura la care s-a realizat echilibrul între sistem şi termostat.

Densitatea de probabilitate se va scrie:

Prima exponenţială nu depinde de energia E1 şi o putem îngloba în constantă, astfe că în final se poate scrie.

care reprezintă densitatea de probabilitate pentru un sistem aflat în contact cu u n termostat. Densitatea de probabilitate a fost calculată pentru prima dată de Gibbs, iar distribuţia respectivă se numeşte distribuţia canonică sau distribuţia lui Gibbs.

Constanta se poate determina din condiţia de normare astfel,

se notează cu Z(V,T) integrala,

şi se numeşte integrala statistică a sistemului şi joacă un rol deosebit în mecanica statistică.

Densitatea de probabilitate se va scrie cu ajutorul integralei statistice sub forma: