In situatia in care sistemul oscilant poseda capacitate de amortizare, miscarea inceteaza dupa un anumit interval de timp, avand deci caracterul unei vibratii tranzitorii. In ecuatia de echilibru dinamic instantaneu care va caracteriza miscarea sistemului, intervin urmatoarele forte: (i) forta de inertie, ; (ii) forta de rezistenta (de amortizare vascoasa) (iii) forta elastica, . Ecuatia de miscare a sistemului dinamic rezulta de forma:
Pentru rezolvarea acestei ecuatii diferentiale omogene de ordinul II cu coeficienti constanti se scrie ecuatia caracteristica: ale carei radacini sunt: . In functie de valoarea discriminantului din relatia anterioara se disting 3 cazuri care vor fi analizate in continuare.
AMORIZARE CRITICA
Valoarea coeficientului de amortizare pentru care discriminantul se anuleaza se numeste coeficient de amortizare critica si se noteaza prin ccr. Rezulta deci:
, adica cum
Se constata ca coeficientul de amortizare crititca este o caracteristica proprie a sistemului oscilant, exprinmandu-se prin intermediul elementelor acestuia. Rapostul dintre coeficientul de amortizare efectiv si cel de amortizare critica se numeste fractiune din amortizarea critica si se noteaza cu ?.
sau
Fractiunea din amortizarea critica are o larga utilizare in Dinamica structurilor si in special in Ingineria seismica. Spre deoasebire de , fractiunea din amortizarea critica este un numar adimensional si caracterizeaza mult mai intuitiv capacitatea de amortizare a unei structuri. Prin urmare, in cazul amortizarii critice rezulta:
sau
Intrucat solutia ecuatiei de miscare va avea expresia:
Constantele de integrare A si B se determina din conditiile initiale ale miscarii: si , obtinandu-se: si si deci .
Relatia anterioara arata ca miscarea corespunzatoare acestui caz este aperiodica, pierzandu-si caracterul oscilatoriu.
AMORIZARE SUPRACRITICA
Daca coeficientul de amortizare efectiv c depaseste valoarea coeficientului de amortizare critica ccr se considera ca sistemul oscilant are amortizare supracritica. Deci cand: rezulta si , iar radacinile r1 si r2 sunt reale si negative . Solutia ecuatiei de miscare rezulta de forma:
In baza conditiilor initiale se obtin expresiile constantelor, A si B:
si
Analog cazului precedent, miscarea rezultanta nu mai este oscilatorie ci aperiodica. Intr-o miscare aperiodica, sistemul care a fost scos din pozitia de echilibru revine la pozitia sa initiala fara a oscila.
AMORIZARE SUBCRITICA
Acest ultim caz intereseaza din punct de vedere practic intrucat , si . Radacinile ecuatiei caracteristice vor fi de aceasta data imaginare (complexe conjugate), adica:
sau
unde reprezinta pulsatia proprie a sistemului oscilant cand se tine seama de influenta amortizarii si .
In acest caz solutia ecuatiei de miscare este de forma:
Dezvoltand functiile exponentiale si utilizand relatiile lui Euler, solutia de mai sus se poate scrie sub forma:
Prin compactarea termenilor din paranteza, se obtine:
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
