Electrotehnică II - capitolul 1

1. Notiuni de teoria câmpurilor

1.1 Vectori si sisteme de coordonate

Un vector A este un segment de dreapta orientat . Lungimea segmentului constituie marimea sau modulul vectorului, notat cu ½A½ sau, mai simplu, A. Directia dreptei din care face parte segmentul reprezinta directia vectorului. Sensul vectorului este indicat de o sageata atasata unuia din capetele segmentului. Asadar, un vector, spre deosebire de un scalar (un numar real), este caracterizat prin trei elemente: marime (modul), directie si sens. În acest curs vectorii vor fi notati cu caractere aldine, în text (A ) si cu litere cu bara deasupra ( ), în formule.

Fig.1

Uneori este convenabil sa separam modului de directie si sens. În acest scop definim un vector uA cu aceiasi directie si sens ca si vectorul A, dar de modul unitar, numit vector unitar sau versor:

În unele calcule este convenabil sa reprezentam un vector prin proiectiile lui pe axele unui sistem de coordonate ortogonal.

Sistemul de coordonate cartezian

Într-un sistem de coordonate cartezian (Fig.2), un punct P(x, y, z) este determinat de intersectia a trei plane reciproc ortogonale: x=ct, y=ct respectiv z=ct. Un vector A cu originea în P, are expresia

unde ux, uy si uz sunt vectorii unitari, notati adesea cu literele i, j si k, perpendiculari pe planele respective. Vectorul de pozitie al punctului P are deci expresia

Fig.2

Elementul de linie dl=r+dr-r=dr are expresia

Proiectiile pe axe ale elementului de suprafata vectorial ds=dsn sunt

Elementul de volum dv are expresia

Anumite probleme pot fi rezolvate mai simplu daca se alege un sistem de coordonate “acordat” tipului de simetrie al problemei în cauza. Doua astfel de sisteme de coordonate orogonale sunt sistemul de coordonate cilindric, respectiv sferic.

Sistemul de coordonate cilindric

În sistemul de coordonate cilindric un punct P(R, f, z) se gaseste la intersectia suprafetei cilindrice coaxiala cu axa z si raza R, cu planele f=ct si z=ct (Fig.3). Versorul uR într-un punct P este situat într-un plan paralel cu planul (xy) fiind normal pe suprafata cilindrului de raza R care trece prin P si orientat în sensul cresterii coordonatei R. Versorul uf este tot în planul (xy), dar tangent suprafetei cilindrului, orientat în sensul cresterii coordonatei f. Versorul uz este paralel cu axa oz, orientat în sensul cresterii lui z. Un vector A cu originea în P se scrie astfel:

Vectorul de pozitie al punctului P(r, f, z) are expresia

Elementul de linie dl, proiectiile elementului de suprafata ds si elementul de volum dv au expresiile

Fig.3

Sistemul de coordonate sferic

În sistemul de coordonate sferic punctul P(r, q, f) se gaseste la intersectia dintre sfera cu centrul în O si raza r, conul având ca generatoare dreapta OP si planul f=ct care trece prin axa z (Fig.4). Versorul ur într-un punct P este pe directia dreptei OP, în sensul cresterii coordonatei r. Versorul uq este situat în planul f=ct care trece prin P si este perpendicular pe segmentul OP, fiind orientat în sensul cresterii coordonatei q. Versorul uf este perpendicular pe planul f=ct, fiind orientat în sensul cresterii coordonatei f.