CAPITOLUL 1
Elemente de algebra booleeana
Algebra Boole a fost conceputa de catre matematicianul englez George Boole
(1815 ÷ 1864) ca o metoda simbolica de tratare a functiilor logicii formale. Abia în
1938, Claude Shannon avea sa o utilizeze pentru prima oara la analiza circuitelor de
comutatie.
Algebra Boole, cunoscuta si sub denumirea de Algebra logica sau Calculul
propozitional, opereaza cu propozitii despre care se poate afirma ca sunt adevarate
sau false. Fiecarei propozitii i se poate asocia o variabila (numita variabila logica
sau binara) care ia valoarea 1 când propozitia este adevarata si 0 când propozitia
este falsa.
Exemple:
Fie un întrerupator X caruia îi asociem variabila x, fig. 1.1 a.
a) b)
Fig. 1.1. Explicativa pentru propozitiile simple
a) întrerupatorul X este (nu este) actionat
b) bobina releului Y este (nu este) excitata
Propozitia "Întrerupatorul X este actionat" poate fi adevarata (x=1) sau falsa
(x=0).
Similar, pentru bobina de releu Y, fig. 1.1 b, se poate construi propozitia
"Bobina Y este excitata", propozitie care poate fi adevarata (y=1) sau falsa (y=0).
Propozitiile pot fi simple (cazul exemplelor anterioare) sau compuse.
Propozitiile compuse sunt cele a caror valoare de adevar depinde de valoarea
de adevar a propozitiilor simple din care se compun si de tipul legaturilor logice
dintre acestea.
Legaturile logice (operatiile) de baza sunt prezentate în tab. 1.1.
Se observa ca denumirile si simbolurile operatiilor logice difera de la un
domeniu la altul. În cele ce urmeaza, vom utiliza aproape exclusiv notatiile din
matematica.
X
(x)
Y
(y)
Capitolul 1
2
Tab. 1.1. Denumirea si simbolizarea operatiilor de baza
Matematica Logica Tehnica
Prima lege de compozitie
(suma logica)
x1+ x2
Disjunctie
x1Ú x2
SAU (OR)
x1Ú x2
A doua lege de compozitie
(produsul logic)
x1× x2
Conjunctie
x1Ù x2
SI (AND)
x1× x2
Elementul invers
x
Negatie
x
NU (NOT)
x
Propozitia compusa poarta numele de functie logica sau functie binara si ia
valoarea logica 1 când este adevarata si 0 când este falsa.
Functia logica este complet definita cu ajutorul unui tabel finit (tabel de
adevar) având în primele coloane valorile logice ale propozitiilor simple
(considerate independente) si în ultima coloana - valorile logice ale functiei, obtinute
prin aplicarea operatiilor logice asupra valorilor logice corespunzatoare ale
propozitiilor simple.
1.1. Functii logice elementare
Pornind de la expresia generala a unei functii de n variabile binare,
y = f (x1, x2, ..., xn), (1.1)
observam ca numarul total de termeni care se pot construi cu ajutorul celor n
variabile binare este m = 2n, iar numarul total de functii care rezulta combinând între
ei cei m termeni este:
m 2n
m
j 0
n
m
1
m
0
fn m 2 2
j!(m j)!
m!
N C C ... C = =
−
= + + + =
=
(1.2)
Particularizând relatiile (1.2) pentru n = 0, 1 si 2 variabile, obtinem:
- pentru n = 0, Nf0 = 2 functii si anume y1 = 0 si y2 = 1;
- pentru n = 1, deci y = f (x), Nf1 = 4 functii si anume y1 = 0, y2 = 1, y3 = x,
y4 = x ;
- pentru n = 2, deci y = f (x1, x2), se obtin Nf2 = 16 functii pe care le
prezentam în tabelul 1.2.
Facultatea de Inginerie Electrica, Craiova
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
