Rezultă o concluzie cunoscută din teoria semnalelor: prin eşantionarea
unui semnal cu o anumită frecvenţă de eşantionare, spectrul semnalului iniţial
se periodicizează cu acea frecvenţă, plus un factor de scalare.
Pe baza observaţiei că spectrul unui semnal eşantionat este periodic cu
perioada dată întocmai de frecvenţa de eşantionare, se poate defini un spectru
normat, obţinut pe o perioadă a spectrului eşantionat, rezultând astfel
transformata Fourier în timp discret a unui semnal numeric.
Spectrul de amplitudini al lui v(t) este reprezentat calitativ în figura 1.3.
Figura 1.3
Considerând valorile date în ipoteză, mai întâi pentru
spectrul este cel din figura 1.4.
4 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme
Figura 1.4.
se observă că spectrele imagine (considerate pe o
perioadă) se suprapun pe o jumătate de peroadă, astfel că spectrul rezultat este
constant în întreaga bandă: V (ω ) = 2, ∀ω , deci v(t ) = 2δ (t )
c) În primul caz, frecvenţa de tăiere a FTJ-ului este 0 2 t
ω = ω Din figura 1.4,
se observă că aceasta este echivalentă cu reţinerea primului spectru (din
jurul originii).
Figura 1.5.
Rezultă că ( ) 1 ( )
= şi deci semnalul poate fi refăcut perfect din
eşantioanele sale.
În al doilea caz, filtrul se aplică asupra unui spectru constant şi rezultă
y(t ) = v(t ) ∗ h(t ) = 2h(t ) care diferă în principiu de x(t).
Inspectând atent figura 1.5, rezultă o generalizare extrem de importantă
pentru eşantionarea semnalelor.
iniţial poate fi refăcut (mai puţin o constantă de scalare) din eşantioanele sale
printr-o filtrare trece-jos ideală. Filtrul este cu atât mai pretenţios (bandă de
tranziţie mai mică) cu cât inegalitatea de mai sus tinde către egalitate.
Dacă 0
< ω , apare fenomenul de aliere spectrală (suprapunerea
spectrelor imagine) şi refacerea semnalului iniţial este imposibilă.
Capitolul 1 – Semnale şi sisteme discrete 5
În realitate, nici un semnal nu poate avea o bandă limitată. De aceea, nu
se poate alege 0
Aici trebuie luată în considerare banda efectivă a
semnalului (în afara căreia, componentele spectrale sunt considerate
neglijabile).
Filtrul având funcţia pondere ( ) ( ) ( ) s h t =σ t −σ t −T este în fapt un
interpolator de ordin 0 (Sample & Hold). Se observă că
Se justifică astfel şi denumirea tipului de interpolare. Semnalul
analogic se reface prin “menţinerea” eşantionului x(nTs) timp o perioadă de
eşantionare, rezultând o aproximare în scară.
Pentru a vizualiza un exemplu, folosim mediul Matlab, pentru un caz
particular ω
0=2π[kHz],
= Semnalele x(t), v(t) şi y(t) sunt reprezentate
în figura 1.6.
Figura 1.6.
În frecvenţă, filtrul de interpolare de ordin 0 are funcţia de transfer
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
