Circuite Logice Integrate în Automatizări

Funcţii logice; forme de reprezentare a funcţiilor logice

La baza proiectării circuitelor digitale stă algebra booleană. Algebra Booleană, cunoscută şi sub denumirea de Algebra logică, operează cu funcţii logice.

Funcţia logică sau funcţia binară ia valoarea logică 1 când este adevărată şi 0 când este falsă.

Funcţiile logice se pot exprima prin expresii logice. Aceste expresii se pot deduce din tabelul de adevăr sau decurg din anumite observaţii intuitive legate de comportamentul unei anumite funcţii logice.

Operaţiile logice de bază sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Matematică Logică Tehnică

Prima lege de compoziţie

(suma logică)

x1+ x2

Disjuncţie

x1 x2

SAU (OR)

x1 x2

A doua lege de compoziţie

(produsul logic)

x1 x2 Conjuncţie

x1 x2 ŞI (AND)

x1 x2

Elementul invers

Negaţie

 x NU (NOT)

Se observă că denumirile şi simbolurile operaţiilor logice diferă de la un domeniu la altul. În cele ce urmează, vom utiliza aproape exclusiv notaţiile din matematică.

Exprimarea matematică a unei funcţii logice necesită cunoaşterea axiomelor şi a teoremelor ale algebrei Booleene.

Axiomele algebrei Booleene

Se consideră o mulţime, M, compusă din n elemente (x1, x2, , xn) şi operaţiile "" (produs logic) şi "+" (sumă logică) deja prezentate.

Spunem că mulţimea M formează o algebră Booleană dacă:

1. Mulţimea M conţine cel puţin două elemente distincte:

 xi, xj  M, cu xi  xj.

2. Pentru orice xi, xj  M, avem:

xi  xj  M şi xi + xj  M, cu 1  i, j  n.

3. Operaţiile "" şi "+" prezintă următoarele proprietăţi:

a) comutativitatea:

x1  x2 = x2  x1;

x1 + x2 = x2 + x1;

b) asociativitatea:

x1  x2  x3 = (x1  x2)  x3 = x1  (x2  x3) = ;

x1 + x2 + x3 = (x1 + x2) + x3 = x1 + (x2 + x3) = ;

c) distributivitatea (uneia faţă de cealaltă):

x1  (x2 + x3) = x1  x2 + x1  x3;

x1 + (x2  x3) = (x1 + x2)  (x1 + x3);

4. Ambele operaţii admit câte un "element neutru" cu proprietatea:

x  1 = 1  x = x;

x + 0 = 0 + x = x;

5. Pentru orice x  M, va exista un element (non x) cu proprietăţile:

x  = 0;

x + = 1.

Ultimele două relaţii poartă numele de principiul contradicţiei, respectiv - principiul terţului exclus şi se enunţă astfel:

Principiul contradicţiei: o propoziţie nu poate fi şi adevărată şi falsă în acelaşi timp.

Principiul terţului exclus: o propoziţie este sau adevărată, sau falsă, o a treia posibilitate fiind exclusă.

Teoremele algebrei Booleene

Pornind de la axiome, se deduc următoarele teoreme care devin reguli de calcul în cadrul algebrei Booleene:

1. Principiul dublei negaţii:

= x (dubla negaţie este echivalentă cu afirmaţia).

2. Idempotenţa:

3. Absorbţia:

x1  (x1 + x2) = x1;

x1 + (x1  x2) = x1.

4. Legile elementelor neutre:

x  0 = 0;

x + 0 = x;

x  1 = x;

x + 1 = 1.

5. Formulele lui De Morgan: