CURS 1
Sisteme (filtre) elementare
1. Introducere
Un echipament electronic de procesare a semnalelor include un ansamblu de
subsisteme interconectate. Aceste subsisteme sunt definite prin funcţii de transfer
elementare, în sensul că acestea nu se pot descompune în funcţii de transfer mai
simple. Ele numite sisteme fundamentale sau, adesea, filtre elementare (denumire
utilizată numai în electronică).
Clasificarea sistemelor (filtrelor) elementare se face după forma modelului
matematic care leagă mărimile de intrare şi de ieşire. O bună cunoaştere a acestor
elemente este esenţială în analiza şi sinteza sistemelor de procesare a semnalelor.
Pentru subsistemele prezentate în continuare se vor specifica : ecuaţia intrare-ieşire ;
răspunsul la impuls şi funcţia indicială, funcţia de transfer şi distribuţia poli-zerouri ;
răspunsul la frecvenţă şi expresiile amplificării şi defazajului ; caracteristicile Nyquist şi
Bode.
Subsistemele liniare fundamentale se prezintă distinct pentru cazurile : timp continuu
şi, respectiv, timp discret.
2 Sistemul ideal cu acţiune proporţională (amplificatorul ideal)
Relaţia intrare-ieşire este de forma
y(t) =K⋅u(t), (1)
pentru cazul : timp continuu, şi
y(k) =K⋅u(k), (2)
pentru timp discret. Parametrul K se numeşte coeficient static de amplificare.
Funcţiile de transfer sunt
H(s) =K - timp continuu, respectiv H(z) =K - timp discret (3)
Răspunsul la semnal treaptă al unui element (amplificator) ideal este prezentat în Fig. 1.
u(t)
y(t)
t
t
u(k)
y(k)
k
k
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7
a b
Fig. 1 Răspunsul la semnal treaptă al unui element (amplificator) ideal :
a – timp continuu ; b – timp discret
1 1
K K
Se constată că se reproduce la ieşire, fără dinamică, forma semnalului de intrare, prin
intermediul constantei (coeficientului de amplificare) K.
Caracteristicile de frecvenţa pentru cazul timp continuu sunt ilustrate în Fig. 2.
Amplificarea în dB este :
AdB (ω)=20.log H(jω)=20.logK, (4)
iar faza
ϕ(ω)=argH(jω)=0 (5)
Atunci când timpul este discret, pulsaţia ω este limitată superior la limita Shannon :
ωS = ωe/2 (6)
3 Linia de întârziere ideală
3.1 Cazul timpului continuu
1 - Ecuaţia intrare-ieşire este
y(t) =u(t−τ ) (7)
undeτ este întârzierea.
2 - Răspunsul la semnal treaptă este prezentat în Fig. 3. Semnalul aplicat la intrare
este reprodus la ieşire cu întârzierea τ .
3. Funcţia de transfer se obţine aplicând
transformata Laplace ecuaţiei (7):
Y(s)=U(s)⋅e-τs
de unde rezultă
H(s) =e−τ s (8)
4. Răspunsul la frecvenţă este
H(jω) =e−τ jω (9)
de unde se obţin:
ImH(jω)
ReH(jω )
K
20logK
AdB = 20log H(jω )
ω
ϕ (ω ) = argH( jω ) = 0
ω
a b
Fig. 2. Caracteristicile Nyquist (a) şi Bode (b) ale elementului proporţional ideal
u(t)
t
Fig. 3 Răspunsul la semnal treaptă al unei linii de
întârziere ideale
1
y(t)
t
1/
τ
- caracteristica de amplificare
A(ω)=H(jω) =e− jωτ = 1 ; AdB = 20.logA= 0 (10)
- caracteristica de fază ϕ (ω) = argH(jω) = −ωτ. (11)
Caracteristicile Nyquist (locul de transfer) şi Bode sunt prezentate în Fig. 4. Locul de
transfer este un cerc, deoarece A(ω ) =1 şi ϕ (ω ) este variablă. In diagramele Bode, unde
pulsaţia din abscisă este în scară logaritmică, caracteristica de amplificare este nulă,
AdB=20logA(ω )=0 , iar caracteristica de fază este liniară în raport cu logω , însă este
neliniară în raport cu ω.
Observaţie. Dintre elementele fundamentale, linia de întârziere cu timp continuu este
singurul element cu funcţie de transfer neraţională (exponenţială). Toate celelalte
elemente (filtre) elementare au funcţia de transfer raţională, adică funcţia de transfer este
un raport de polinoame în s, în care gradul numărătorului este inferior sau la limită egal
cu cel al numitorului (pentru sistemele strict cauzale, respectiv sisteme la limită cauzale).
Pentru a aproxima funcţia de transfer exponenţială cu o funcţie de transfer raţională, se
scrie expresia (8) soub forma:
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
