Analiza matematică - teoria probabilităților

1 MODULUL I. Analiza matematica

Obiectivele modulului

 Introducerea catorva notiuni de analiza functiilor reale de mai multe variabile reale care sa constituie

pentru studenti instrumente pentru tratarea unor probleme de extrem, pentru a permite interpolarea

si ajustarea datelor experimentale, etc.

 Crearea bazelor de analiza matematica necesare pentru studiul teoriei probabilitatilor si pentru statis-

tica matematica.

Concepte de baza

 Spatiul Rn, distanta in Rn, topologia euclidiana in Rn;

 Limite de functii de la Rn la R, continuitatea functiilor de la Rn la R;

 Derivate partiale, diferentiabilitate si diferentiala pentru functiile de la Rn la R, derivate partiale si

diferentiale de ordin superior;

 Extremele functiilor reale de mai multe variabile reale (libere sau cu legaturi);

 Ajustarea datelor experimentale;

 Integrale Euler.

Rezultate asteptate

Insusirea conceptelor de baza mentionate si crearea deprinderilor de utilizare a acestora. Studentul trebuie

sa e capabil sa aplice in practica notiunile studiate pentru analizarea unor situatii concrete din economie,

cum ar  de exemplu probleme de gestiunea optima a stocurilor.

UNITATEA 1. Functii reale de mai multe variabile reale

1.1 Functii reale de mai multe variabile reale

1.1.1 Spatiul Rn

^In studiul fenomenelor zice, economice (si ^n alte situatii) apare de mai multe ori necesitatea studiului

multimilor cu numar x de numere reale. De exemplu, spatiul ^n care traim este modelat ca o multime de

puncte determinate de trei coordonate. Fie n un numar natural xat nenul. Multimea sistemelor de forma:

x = (x1; x2; : : : ; xn) ;

unde x1; x2; : : : ; xn sunt numere reale, se numeste spatiul Rn. Elementele acestei multimi se numesc puncte,

iar numerele x1; x2; : : : ; xn care determina punctul x se numesc coordonatele sau componentele acestui punct.

Pe spatiul Rn se pot considera diverse structuri care sa extinda structura axei reale.

Pentru orice pereche de elemente x si y din Rn, exista ^n Rn suma lor x + y data de:

x + y = (x1 + y1; x2 + y2; : : : ; xn + yn) : (2:1:1)

De asemenea, pentru ecare 2 R si x 2 Rn exista ^n Rn

x = (x1; x2; : : : ; xn) : (2:1:2)

4

Denitia 1.1.1. Se numeste metrica sau distanta pe multimea nevida X orice aplicatie

d : X  X ?! R (x; y) ?! d (x; y)

astfel ^nc^at:

D1) d (x; y)  0; 8 x; y 2 X si d (x; y) = 0 () x = y

D2) d (x; y) = d (y; x) ; 8 x; y 2 X

D3) d (x; y)  d (x; z) + d (z; y) ; 8 x; y; z 2 X (inegalitatea triunghiului)

Cuplul (X; d) unde X este o multime nevida iar d este o metrica (distanta) pe X se numeste spatiu

metric.

Propozitia 1.1.1. Aplicatia d : Rn  Rn ?! R data de

d (x; y) = kx ? yk =

vuut

Xn

i=1

(xi ? yi)2

este o metrica pe Rn numita metrica euclidiana pe Rn:

Exemplul 1.1.1. Fie x = (?1; 3; 1) si y = (2; 1;?1), x; y 2 R3. Avem:

d(x; y) =

p

(?1 ? 2)2 + (3 ? 1)2 + (1 + 1)2 =

p

17:

Observatia 1.1.1. In cazul normei euclidiene pentru n = 2 si n = 3 regasim formula distantei dintre doua

puncte din plan si din spatiu. Intr-adevar daca n = 2 atunci

d (x; y) =

q

(x1 ? y1)2 + (x2 ? y2)2

iar daca n = 3 atunci

d (x; y) =

q

(x1 ? y1)2 + (x2 ? y2)2 + (x3 ? y3)2:

Notiunile de limita si continuitate se pot introduce ^n orice spatiu normat, respectiv metric. In cele ce

urmeaza vom considera spatiul Rn ^nzestrat cu norma euclidiana respectiv metrica euclidiana.

Denitia 1.1.2. Fie a = (a1; a2; : : : ; an) 2 Rn si r > 0: Se numeste bila deschisa cu centrul ^n a si raza

r multimea

B (a; r) = fx 2 Rn; d (x; a) < rg :

Pentru n = 1 respectiv n = 2 adica ^n R, respectiv ^n R2 bilele deschise sunt intervale deschise centrate

^n a1 de forma (a1 ? r; a1 + r) ; respectiv discuri deschise cu centrul ^n a = (a1; a2) :

Denitia 1.1.3. 1) Spunem ca multimea V  Rn este o vecinatate a punctului a 2 Rn daca exista o bila

deschisa cu centrul ^n a inclusa ^n multimea V , adica B (a; r)  V:

Notam cu V (a) = fV  Rn jV vecinatate a lui ag multimea vecinatatilor punctului a. Din denitie

rezulta ca orice bila deschisa cu centrul ^n a 2 Rn este o vecinatate a lui a.

2) Spunem ca a 2 Rn este punct interior multimii A  Rn daca 9V 2 V (a) astfel ca V  A: intA =

fa ja punct interior lui Ag - reprezinta multimea punctelor interioare multimii A:

3) O multime A  Rn care contine numai puncte interioare se numeste multime deschisa.

4) a 2 Rn este punct de acumulare al multimii A  Rn daca orice vecinatate V a lui a contine cel putin

un punct din multimea A; diferit de a, adica 8 V 2 V (a) ; (V n fag) A 6= ;

5

A0 = fa 2 Rn ja punct de acumulare pentru Ag - reprezinta multimea punctelor de acumulare a multimii

A:

Din denitie rezulta ca punctul a poate sau nu sa apartina multimii A.

5) a 2 A este punct izolat al multimii A  Rn daca exista o vecinatate V a lui a astfel ^nc^at V A = fag

6) A  Rn se numeste multime marginita daca exista M > 0 astfel ^nc^at A  B (0;M) sau echivalent

daca 8x 2 A are loc kxk < M:

Denitia 1.1.4. Spunem ca multimea D  Rn este un domeniu daca este deschisa si conexa (formata

dintr-o singura ,,bucata" adica nu se poate scrie ca reuniune disjuncta de doua multimi deschise si nevide).

Mentionam ca daca D  Rn este un domeniu, atunci D nu are puncte izolate si prin urmare orice punct

a 2 D este punct de acumulare pentru multimea D (a 2 D0) :

Vom prezenta ^n continuare un exemplu ^n R2 care ilustreaza notiunile introduse anterior.

[1] Colectiv, Matematici aplicate ^n economie, Ed. Mega, Cluj Napoca, 2011.

[2] Colectiv, Elemente de Algebra liniara si Analiza matematica pentru economisti, Ed. Todesco, Cluj-Napoca, 2003.

[3] Colectiv, Elemente de teoria probabilitatilor si statistica matemetica pentru economisti, Ed. Todesco, Cluj-Napoca, 2004.

[4] Colectiv, Elemente de algebra liniara, analiza matematica si teoria probabilitatilor, Ed. Mega, Cluj-Napoca, 2009.

[5] Muresan A.S., Blaga P., Matematici aplicate in economie, vol. I, Ed. Transilvania Press, Cluj-Napoca, 1996.

[6] Colectiv, Analiza matematica, Teoria Probabilitatilor si Algebra liniara aplicate in economie, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2008.

[7] Colectiv, Elemente de teoria probabilitatilor si statistica matemetica pentru economisti, Ed. Todesco, Cluj-Napoca, 2004.

[8] Mihoc I., Calculul probabilitatilor si statistica matematica, lito UBB, Cluj-Napoca, 1998.

[9] Muresan A.S., Blaga P., Matematici aplicate in economie, vol. I, Ed. Transilvania Press, Cluj-Napoca, 1996.

- Analiza matematica

- Teoria probabilitatilor