Planul geometrie descriptivă

4.1 Reprezentarea planului. Relatia punct - dreapta - plan

Un plan oarecare [P] este

determinat in spatiu de trei puncte

necoliniare, de o dreapta si un

punct exterior ei, de doua drepte

paralele sau concurente. Si in

epura un plan se reprezinta prin

proiectiile elementelor geometrice

care il determina. Astfel, in

figurile urmatoare planele sunt

definite dupa cum urmeaza:

- prin trei puncte necoliniare,

A(a,a'), B(b,b') si C(c,c') - planul

[P] - fig.4.1;

- print-o dreapta AB(ab,a'b') si un

punct exterior ei C(c,c') - planul

[Q] - fig.4.2;

- prin doua drepte paralele

AB(ab,a'b') si MN(mn,m'n') -

planul [R] - fig.4.3;

- prin doua drepte concurente

AB(ab,a'b') si MN(mn,m'n') cu

punctul de concurenta in I(i,i') -

planul [T] - fig.4.4;

Reprezentarea planelor prin

modurile prezentate mai sus nu

este destul de sugestiva, adica nu

arata cu suficienta claritate pozitia

planului fata de planele de

proiectie. Pentru a inlatura aceasta

problema, in Geometria descriptiva,

in mod frecvent un plan

oarecare [P] este reprezentat prin

urmele sale.

Urmele planului reprezinta

dreptele de intersectie dintre planul

oarecare [P] si planele de proiectie.

Acestea sunt : urma orizontala -

P, urma verticala - P' si urma

laterala - P" (fig.4.5, a).

Urmele sunt drepte

continute in planele de proiectie si

anume urma orizontala, P, este o

orizontala de cota zero, urma

verticala, P', este o frontala de

departare zero si urma laterala, P",

a

a'

x

O

[H]

[V]

[L]

z

y

B

b'

b

A

a) b)

a

a'

x

z

y

O

b

b'

M

m'

m [P]

m'

m

P'

P"

P

Fig.4.1 Reprezentarea planului determinat prin trei

puncte necoliniare: a) in spatiu ; b) in epura

a

a'

x

O

[H]

[V]

[L]

z

y

B

b'

b

A

a) b)

a

a'

x

z

y

O

b

b'

M

m'

m

[Q]

m'

m

Q'

Q"

Q

Fig.4.2 Reprezentarea planului determinat de o

dreapta si un punct exterior: a) in spatiu ; b) in epura

a

a'

x

O

[H]

[V]

[L]

z

y

B

b'

b

A

a) b)

a

a'

x

z

y

O

b

b'

M

m'

m

[R]

m'

m

R'

R"

R

n'

n

N n'

n

Fig.4.3 Reprezentarea planului determinat prin doua

drepte paralele: a) in spatiu ; b) in epura

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

38

o dreapta de profil de abscisa

zero. Cele trei urme sunt

concurente doua cate doua in

punctele Px, Py, si Pz situate pe

axe, puncte care reprezinta

intersectia dintre planul [P] si

aceste axe.

Epura planului [P]

(fig.4.5, b) se obtine prin rotirea

planelor [H] si [L] peste planul

[V], pana la suprapunerea lor. In

general, urmele orizontala si

verticala sunt suficiente pentru

rezolvarea problemelor, urma

laterala folosindu-se atunci cand

prin proiectia pe planul lateral

se obtine o simplificare a

rezolvarii.

Cunoscand urma orizontala

si verticala a unui plan,

pentru obtinerea urmei laterale,

P", se roteste punctul Py in jurul

originii O, in sens trigonometric

pana se situeaza pe axa Oy1, in

Py1, iar apoi acest punct se

uneste cu punctul Pz : Py1 ? Pz

= P". Trebuie facuta precizarea

ca planul din figura 4.5 este

reprezentat prin urmele din

diedrul I si ca acestea fiind drepte, sunt infinite si pot fi prelungite dincolo de punctele de

intersectie cu axele.

O dreapta este situata intr-un plan daca toate punctele dreptei apartin planului, sau

mai simplu, daca are cel putin doua puncte continute in acel plan. Stiind ca o dreapta, D,

intersecteaza planele de proiectie dupa urmele sale H(h,h',h") si V(v,v',v") si considerand

aceasta dreapta inclusa intr-un plan [P], inseamna ca urmele dreptei vor fi situate pe

urmele planului. Astfel, in epura putem considera ca doua puncte ale dreptei continute in

plan chiar urmele orizontala si verticala ale dreptei (fig.4.6, a).

x

O

[H]

[V]

[L]

z

y

A B

a) b)

a

a'

x

z

y

O

b

b'

M

[T]

m'

m

T "

T

a' N

b'

m'

n'

a n m

b

T '

n'

n

I

i'

i

i'

i

Fig.4.4 Reprezentarea planului determinat prin drepte

concurente: a) in spatiu ; b) in epura

x

O

[H]

[V]

[L]

z

y

a) b)

x

z

y

O

[P]

P'

P"

P

Px

Pz

Py

y1

Px

Pz

Py

Py1

P' P"

P

Fig.4.5 Reprezentarea urmelor planului:

a) in spatiu ; b) in epura

x

O

[H]

[V]

[L]

z

y

a) b)

x

z

y

O

[P]

P'

P P"

Px

Pz

Py

y1

Px

Pz

Py

Py1

P' P"

P

H=h

l'

V=v'

M

m"

m'

m

d"

d

d'

D

m

d

d'

h"

h

h'

m'

v' v"

d"

l"

l

m"

v

L=l"

Fig.4.6 Relatia punct - dreapta - plan, M ? D, D ? [P] ? M ? [P]

PLANUL

39

Observatie : Conditia necesara si suficienta ca o dreapta sa apartina unui plan este

ca urmele dreptei sa fie situate pe urmele de acelasi nume ale planului.

In figura 4.6, b dreapta D(d,d',d") apartine planului [P], deoarece are proiectia

orizontala a urmei orizontale, h, pe urma orizontala, P, a planului, proiectia verticala a

urmei verticale, v', pe urma verticala, P', a planului si proiectia laterala a urmei laterale, l",

pe urma laterala, P", a planului.

Pentru a se putea lua un punct intr-un plan, trebuie sa se asigure faptul ca punctul se

gaseste pe o dreapta din plan.

Observatie : In epura, conditia necesara si suficienta ca un punct sa apartina unui

plan, este ca punctul sa fie situat pe o dreapta din plan.

In figura 4.6 punctul M(m,m',m") apartine planului [P], deoarece este situat pe

dreapta D(d,d',d") din plan, indeplinind conditia de apartenenta a punctului la dreapta, si

anume : m ? d, m' ? d', m" ? d".

In probleme, se intalneste frecvent cerinta de a se lua o dreapta intr-un plan dat fie

prin urme, fie prin elementele geometrice de definire a acestuia.

Daca planul este dat prin urme se procedeaza astfel (fig.4.6):

- se alege o proiectie a dreptei, fie aceasta proiectia verticala, d';

Reprezentarea planului.

Relatia punct - dreapta - plan

Determinarea urmelor unui plan

Drepte particulare ale planului

Pozitiile particulare ale unui plan fata de planele de proiectie