Integrale curbilinii

Definitia 4.1.1 Prin drum parametrizat in ()32?? se intelege orice functie vectoriala continua definita pe un interval I din ? cu valori in . Daca notam cu x, y si z componentele scalare ale lui r, atunci (32?? )

()()(),(),()rtxtytzt=,

? t ? I.

Ecuatiile ()xxt=, , ()yyt=()zzt=, t ? I se numesc ecuatiile parametrice ale drumului r, sau o reprezentare a drumului, iar t se numeste parametru. Imaginea directa r(I) a intervalului I prin functia vectoriala r, adica multimea (){}(),(),();xtytzttI? se numeste suportul (urma, hodograful, traiectoria) drumului r. Daca I este un interval compact [a, b], atunci suportul sau este o multime compacta si conexa din ()32??. In acest caz, punctele r(a) si r(b) se numesc capetele (extremitatile) drumului. Daca r(a) = r(b) drumul se numeste inchis.

Exemplul 4.1.1 Fie drumul r : [0, 2?] ->definit prin: 2?

(()cos,sinrtRtRt= ) , t ? [0, 2?]. Ecuatiile parametrice sunt:

[]cossin,0,2.xRtyRtt?=???=???

Observam ca pentru orice [ ] 0,2t ? ? , punctul ()(),()xtyt verifica ecuatia

(),0R (),Mxy O t xy

Fig. 1

22 2 xyR+=. Rezulta ca suportul acestui drum este cercul cu centrul in origine si de raza R. Parametrul t are in acest caz o interpretare geometrica evidenta si anume, este unghiul dintre raza corespunzatoare punctului M(x, y) si directia pozitiva a axei Ox. deoarece (0)(2)(,0)rrR?==, drumul este inchis.

59

Cap. 4 - INTEGRALE CURBILINII

Exemplul 4.1.2 Fie drumul

r : [0, 2?] ->definit astfel: 3?

()()cos,sin,rtRtRtht=, t ? [0, 2?].

Ecuatiile parametrice sunt:

[]cossin,0,2xRtyRtzhtt . ??=?=??=??

Suportul acestui drum este elicea circu- lara de pas h.

Definitia 4.1.2 Daca functia vectoriala r este injectiva, spunem ca drumul este simplu (fara puncte multiple). In cazul unui drum inchis, acesta este simplu daca egalitatea ()()1rtrt= 2 t2 implica sau t1 = sau cel putin unul din numerele t si este egal cu a si celalalt cu b, unde cu a si b am notat capetele intervalului I. 12t

x y z

Fig. 2

Drumurile prezentate in Exemplul 4.1.1. si 4.1.2 sunt simple. Un exemplu de drum care are puncte multiple este faliul lui Descartes:

Exemplul 4.1.3 Consideram ecuatiile parametrice:

222313,.1atxtatytt?=?+???=??+??

Suportul acestui drum este reprezentat in Fig. 3. Se observa ca originea O este punct multiplu. O x y

Fig. 3

Definitia 4.1.3 Un drum se numeste neted daca x, y, z, sunt de clasa C()3,,:rxyzI=->? 1 pe I si , ? 222()()()0xtytzt???++>t I ?. Un astfel de drum are proprietatea ca in orice punct al suportului sau admite tUn drum c

angenta.

are nu este neted, se spune ca are puncte singulare. Un punct

I

0t? se numeste singular daca ()()()0000xtytzt???===. Daca 0tI? este un

Note de curs, integrala curbilinie