Sisteme de Numerotație

Introducere

Baza de numeratie utilizata pentru reprezentarea informatiei în calculatoarele numerice este baza 2. Argumentele care au determinat aceasta alegere sunt:

- *operatiile aritmetice elementare în baza 2 pot fi asimilate cu operatiile în logica bivalenta efectuate într-o algebra booleana; în consecinta, atât operatiile aritmetice cât si operatiile logice pot fi tratate unitar, prin intermediul functiilor logice din algebra booleana.

- *componentele elementare ale unui SC, utilizate pentru memorarea si manevrarea informatiilor, indiferent de natura lor (dispozitive electronice, optice, magnetice, electrice, etc.), se caracterizeaza prin doua stari stabile (circuit închis / deschis, câmp magnetizat într-un sens / în sens opus, câmp opac / transparent, etc.). Acest lucru face ca functionarea lor sa poata fi exprimata prin intermediul unor functii booleene.

- *proiectarea logica a dispozitivelor elementare ale unui calculator numeric se realizeaza prin intermediul circuitelor logice care modeleaza functiile booleene dorite.

Codificarea si reprezentarea informatiei

1 Sisteme de numerotatie

Se numeste sistem de numeratie totalitatea regulilor de reprezentare a numerelor folosind un anumit set de simboluri distincte, numit alfabet; simbolurile sunt numite cifre.

Sistemele de numeratie sunt de doua tipuri:

- sisteme de numeratie pozitionale

- sisteme de numeratie nepozitionale.

Sistemele de numeratie pozitionale sunt acele sisteme de numeratie pentru care valoarea unei cifre din cadrul unui numar depinde de pozitia ocupata de acea cifra în cadrul numarului.

Exemplu: sistemul arab zecimal de numeratie este unul pozitional. De exemplu, cifra 7 are valoarea 70 în numarul 41278 si are valoarea 7000 în numarul 27903.

Sistemele de numeratie nepozitionale sunt sistemele de numeratie pentru care valoarea unei cifre dintr-un numar nu este unic determinata de pozitia cifrei în numar ci de contextul în care se afla cifra.

Exemplu: sistemul roman de numeratie este unul nepozitional; valoarea cifrei I în numarul II este +1 iar în numarul IV este –1.

Baza unui sistem de numeratie pozitional este data de numarul de elemente care formeaza alfabetul sistemului de numeratie. Se considera ca alfabetul este format din cifre care sunt numere întregi, consecutive, nenegative.

Exemplu: sistemul de numeratie în baza 2 are alfabetul {0,1}; sistemul de numeratie în baza 16 are alfabetul {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

Sistemele de numeratie pozitionale folosesc acelasi sistem de reguli de reprezentare a numerelor; ele difera doar prin alfabetul pe care îl utilizeaza si, implicit, prin baza.

2 Conversia dintr-o baza de numeratie oarecare în baza 10

Fie sistemul de numeratie în baza B, cu alfabetul {0,1,...,B-1}. Un numar rational pozitiv reprezentat în baza B prin sirul:

QB=bn-1bn-2...b0,b-1...b-m

are, prin definitie, valoarea (în baza 10) :

Q10=bn-1*Bn-1 + bn-2*Bn-2 +…+ b0*B0+ …+ b-1*B-1 + b-m*B-m

Exemplul 1:

numarul 40A16=4*162+A*160=1024+10=1034.

Exemplul 2:

numarul 10,0112=1*21+1*2-2+1*2-1=2,375.

Se observa ca prin conversia partii întregi a numarului: bn-1...b0 se obtine un întreg, iar prin conversia partii fractionare: b-1...b-m se obtine un numar subunitar.

3 Conversia din baza 10 într-o baza de numeratie oarecare B se face conform urmatorului algoritm

În primul rând trebuie subliniat ca pentru conversia unui numar care contine atât parte întreaga cât si parte zecimala trebuie convertite separat partea întreaga si cea zecimala.

Procedura de conversia a partii întregi:

- se fac împartiri întregi, succesive la baza B, pornind de la numarul întreg care se converteste;

- în urma fiecarei împartiri se obtine un nou cât si un rest;

- noul cât este deîmpartitul urmatoarei împartiri întregi;

- algoritmul se încheie când se obtine câtul 0;

- resturile obtinute, începând cu ultimul si pâna la primul, reprezinta cifrele numarului, de la cea mai semnificativa la cea mai putin semnificativa.

Procedura de conversia a partii zecimale:

- se fac înmultiri succesive, cu baza B, începând cu partea fractionara a numarului care se converteste;

- partea fractionara a fiecarui produs constituie deînmultitul pentru produsul urmator;

- partea fractionara a numarului convertit în baza B este reprezentata de succesiunea obtinuta din partile întregi ale tuturor produselor obtinute, începând cu primul produs, care furnizeaza cifra cea mai semnificativa a rezultatului

- algoritmul se încheie cu un rezultat exact atunci când se obtine ca produs partial un întreg

- algoritmul se încheie cu o aproximare a numarului fractionar, dupa un anumit numar de pasi, atunci când nu se poate obtine ca produs partial un întreg.

Operatii cu bazele de numerotatie 2, 16.