Obiective curs
- Crearea, analiza şi implementarea de algoritmi pentru rezolvarea problemelor din matematica continuă
- Analiza complexităţii, analiza şi propagarea erorilor, condiţionarea problemelor şi stabilitatea numerică a algoritmilor problemelor numerice
- Prezentarea metodelor numerice clasice şi a celor moderne de rezolvare a problemelor ştiinţifice şi inginereşti
- Alegerea celor mai potrivite metode numerice pentru o problemă dată
Conţinut curs
• Reprezentare în virgulă mobilă. Standardul IEEE 754 pentru numere reale. Condiţionarea problemelor şi stabilitatea numerică a algoritmilor.
• Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare prin metode gaussiene. Pivotare parţială şi totală. Factorizare LU.
• Propagarea erorilor în rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare.
• Metode iterative de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare
• Interpolare polinomială. Polinom de interpolare Lagrange. Diferenţe divizate. Polinom Newton. Eroarea interpolării.
• Interpolare cu funcţii spline. Interpolare trigonometrică.
• Aproximare uniformă. Polinoame Cebâşev. Algoritmii lui Remes.
• Aproximare continuă şi discretă în sensul celor mai mici pătrate.
• Rezolvarea sistemelor în sensul celor mai mici pătrate. Factorizare QR.
• Metodele Householder, Givens, Gram-Schmidt
• Integrare numerică. Metode Newton-Cotes. Metoda Romberg. Integrare gaussiană. Polinoame ortogonale. Integrale improprii.
• Integrarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare. Metode Runge-Kutta.
• Metode multipas explicite şi implicite. Predictor-corector.
• Convergenţa metodelor multipas
• Valori proprii şi vectori proprii. Metodele puterii
• Algoritmul QR cu deplasare explicită. Descompunerea valorilor singulare
2
Aplicaţii ale calculului numeric
1. Determinarea curenţilor într-un circuitul electric în regim staţionar:
R1=2
1 2
R3=4 R2=3
I1 I2
I3
E E2=18 1=10
conduce prin aplicarea legilor lui Kirchhoff, la un system de ecuaţii liniare:
2. Modelul Leontieff consideră economia formată din n sectoare independente: S1,S2,…, Sn. Fiecare
sector consumă bunuri produse de celelalte sectoare (inclusive cele produse de el însuşi). Introducem
notaţiile:
mij = numărul de unităţi produse de sectorul Si necesare sectorului Sj să producă o unitate
pi = nivelul producţiei sectorului Si
mijpj = numărul unităţilor produse de Si şi consumate de Sj
Numărul total de unităţi produs de Si este: p1mi1+p2mi2+…+pnmin
Într-un system închis (autarhic) dacă economia este echilibrată, tot ce se produce trebuie consumat, adică:
Adică sistemul: M.p = p sau (I-M).p=0, care pentru soluţii nenule, conduce la o problemă de valori
şi vectori proprii.
Într-un model deschis de economie, unele sectoare îşi satisfac unele cerinţe din exterior, adică:
pi = mi1p1+mi2p2+…+minpn+di
care conduce la sistemul liniar de ecuaţii:
p = M.p + d
cu soluţia:
p = (I-M)-1.d
3
3. Coeficienţii care apar în reacţiile chimice se obţin aplicând legea conservării masei ecuaţiei de echilibru
chimic. Astfel arderea etanului:
xC2H6 + yO2 → zCO2 + tH2O
dă sistemul de ecuaţii liniare:
care are o soluţie întreagă:
x=2, y=7, z= 4, t=6.
deci ecuaţia chimică este:
2C2H6 + 7O2 4CO2 + 6H2O.
O problemă având o natură fizică oarecare poate fi studiată experimental sau prin simulare. Aceasta poate
fi transformată, utilizând legile fundamentale ale fizicii într-o problemă de natură matematică M P . Vom
spune că problema este bine pusă dacă admite o soluţie unică.
Matematici apl icate
Fizicã teoreticã
Problema fizicã PF
Fizicã experimentalã Rezul tate numerice
Problemã matematicã PM
Fig.1.1. Modal itãþi de abordare a problemelor fizice
Ca exemplu, vom considera următoarea problemă fizică:
PF: Să se studieze propagarea temperaturii într-o bară AB de lungime l cunoscând
-temperaturile la momentul iniţial în orice punct M al barei x, x 0, l 0
-temperaturile la cele două capete t A şi t B în orice moment t 0, t1
Metode Numerice semestrul 2 CTI.
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
