TSA

METODA OPERATIONALA

LAPLACE

Acest capitol este axat in principal pe analiza de tip intrare-ie.ire (I-E) a

sistemelor liniare continue (netede) cu ajutorul formalismului opera.ional Laplace.

In plus, sunt abordate .i analizate unele caracteristici structurale ale sistemelor din

perspectiva teoriei moderne, care are la baz. formalismul de tip intrare-stare-ie.ire

(I-S-E).

Caracteristica principal. a metodei opera.ionale Laplace este forma simpl. de

descriere matematic. a corela.iei dinamice intre intrarea .i ie.irea unui sistem liniar.

Anticipand, modelul opera.ional dinamic al sistemului va avea o form. similar.

celei a modelului sta.ionar, la care ie.irea y se ob.ine prin multiplicarea intr.rii u

cu un factor constant de propor.ionalitate K :

y=Ku

O asemenea form. simpl. a modelului opera.ional dinamic are consecin.e

pozitive in analiza .i sinteza sistemelor compuse (de tip serie, paralel, cu reac.ie,

mixte). Simplificarea formalismului matematic se realizeaz. ins. cu pre.ul cre.terii

gradului de abstractizare. Aceasta presupune, in primul rand, trecerea de la studiul

sistemelor in domeniul timpului la studiul in domeniul complex .i, in particular, in

domeniul frecven.ei.

Metoda opera.ional. Laplace are ca punct de plecare forma relativ simpl. a

rela.iei (modelului) de convolu.ie, care exprim. r.spunsul unui sistem liniar

continuu la o intrare dat. u(t) de tip original (nul. pentru t < 0), atunci cand se

cunoa.te func.ia pondere a sistemului (r.spunsul la impuls Dirac) g(t) :

( ) ( ) ( ) ( )* ( ) 0 y t g t u d g t u t t = ç .ƒÑ ƒÑ ƒÑ = .

2 SISTEME DE REGLARE AUTOMATA. TEORIE SI APLICATII.

Rezultatul y(t) al opera.iei de convolu.ie g(t)*u(t) depinde de intreaga evolu.ie a

semnalului de intrare u .i a r.spunsului pondere g pe intervalul [0, t]. In acest

mod, valoarea curent. a ie.irii y(t) cumuleaz. toate efectele produse de semnalul

de intrare u la momentele de timp din intervalul [0, t]. Rela.ia de convolu.ie

eviden.iaz. faptul c. func.ia pondere g(t) con.ine toate caracteristicile dinamice ale

sistemului din perspectiva corela.iei intrare-ie.ire.

In cadrul metodei opera.ionale Laplace, rela.ia de convolu.ie y = g *u va c.p.ta

forma algebric.

Y(s) =G(s).U(s) ,

unde s este variabila complex. Laplace, iar Y(s) , G(s) .i U(s) sunt transformatele

Laplace ale func.iilor y(t) , g(t) .i u(t) . Modelul opera.ional este deci un model

abstract (in domeniul complex), dar care exprim., intr-o form. algebric. simpl.,

faptul c. ie.irea complex. Y(s) este produsul dintre func.ia complex. G(s) asociat.

caracteristicilor dinamice ale sistemului .i intrarea complex. U(s) . Forma simpl. a

modelului opera.ional permite, in primul rand, simplificarea studiului sistemelor

liniare compuse (de tip serie, paralel, cu reac.ie, mixte), care este relativ dificil de

efectuat in domeniul timpului. Astfel, ob.inerea modelului matematic al unui sistem

compus din ecua.iile diferen.iale ale subsistemelor componente este o opera.ie

complicat. care presupune eliminarea tuturor variabilelor intermediare, inclusiv a

derivatelor acestora. A.a cum vom vedea in continuare, ob.inerea modelului

opera.ional al sistemului compus este o opera.ie mult mai simpl., realizabil. pe baza

unor rela.ii strict algebrice.

1.1. TRANSFORMAREA LAPLACE

Variabilele de intrare, de stare .i de ie.ire ale sistemelor liniare continue, aflate

in regim sta.ionar pentru t < 0, sunt func.ii de timp de tip original, care admit

transformate Laplace. O func.ie original f (t) este nul. pentru t < 0 , este continu. .i

derivabil. pe por.iuni .i are o rat. de cre.tere cel mult exponen.ial., adic. exist.

A>0 .i B >0 astfel incat

f (t) . AeBt .

Pentru a fi satisf.cut. prima proprietate, a.a cum am procedat .i in domeniul

timpului, vom considera c. variabilele unui sistem reprezint. varia.iile m.rimilor

METODA OPERATIONALA LAPLACE 3

fizice respective fa.. de valorile lor ini.iale (la momentele de timp t < 0, cand

sistemul se afl. in regim sta.ionar). In cazul sistemelor liniare, r.spunsul stare X (t)

.i r.spunsul ie.ire Y(t) la orice semnal de intrare tip original sunt r.spunsuri for.ate

de tip original.

Transformata Laplace sau imaginea Laplace a func.iei original f (t) este dat.

de rela.ia