Modele Matematice

Model = „ reprezentare a aspectelor esenţiale ale unui element (sistem) fizic care prezintă cunoştinţele asupra elementului sub o formă utilizabilă”.

Modelarea matematică a unui element fizic = reprezentarea elementului fizic studiat printr-un element abstract (set de atribute + set de relaţii matematice).

Modelarea matematică poate fi realizată:

analitic, prin aplicarea legilor fizice de bază elementului studiat;

experimental, prin identificarea experimentală a elementului şi estimarea atributelor acestuia.

combinat - prin îmbinarea celor două metode.

Modelele matematice:

A. ecuaţii (sisteme de ecuaţii) diferenţiale (de ordinul „n”) liniare (liniarizate) în variabile de intrare, şi de ieşire, ;

B. ecuaţii (sisteme de ecuaţii) de stare în variabile de intrare, de stare , şi de ieşire.

Forma generală a unui model matematic, sub forma ecuaţiei diferenţiale liniare de ordinul „n”, cu coeficienţi constanţi, pentru un element abstract cu o singură mărime de intrare şi o singură mărime de ieşire este:

y(t) este mărimea de ieşire, funcţie necunoscută de timp;

u(t) – mărimea de intrare, funcţie cunoscută (dată) de timp;

coeficienţi constanţi care depind de structura fizică a elementului şi de mărimi de material;

Ecuaţia (1) este însoţită de „n” condiţii iniţiale, valoarea lui y şi a primelor lui „n-1” derivate la momentul iniţial.

Interpretarea soluţiei ecuaţiei diferenţiale liniare:

y(t) = y om (coeficienţii ecuaţiei, condiţiile iniţiale, timp) +

+ y part(mărimea de intrare u(t))

y(t) = y l + y f

Regimul staţionar de funcţionare a unui element - regimul în care mărimea de ieşire, ystaţionar, are aceeaşi formă de variaţie ca mărimea de intrare, ustaţionar, adică depinde numai de mărimea de intrare:

ystaţionar = y f = y part

adică, soluţia particulară a ecuaţiei diferenţiale liniare reprezintă valoarea mărimii de ieşire în regim staţionar.