Metode Numerice - Curs 2

Sistemul admite soluţia unică x∈Rn dacă matricea este inversabilă, caz în care soluţia se exprimă sub forma:

x=A-1.b

Metodele de rezolvare :

- metode exacte - care furnizează soluţia exactă a sistemului dacă se neglijează erorile de rotunjire.

- metode aproximative sau iterative - care construiesc un şir , convergent către soluţia exactă a sistemului .

- Metodele directe aduc sistemul prin transformări de echivalenţă, la un sistem particular (diagonal, triunghiular, etc), care se rezolvă cu mijloace elementare.

- Metodele exacte se bazează pe factorizare gaussiană sau pe factorizare ortogonală.

- Complexitatea metodelor exacte este O(n3), motiv care le restrânge aplicabilitatea la rezolvarea sistemelor de ordin nu prea mare (n<1000)

- In cazul metodelor aproximative, procesul iterativ de generare a şirului x(k) este oprit la un rang p, în momentul în care x(p) reprezintă o aproximaţie satisfăcătoare a soluţiei .

- Complexitatea metodelor iterative este O(n2) într-un pas, ele fiind recomandate pentru rezolvarea sistemelor mari (n>50), dacă se asigură o convergenţă rapidă..

Pornind cu matricea A pătrată se aplică pe rând o transformare Gauss coloanelor 1,2,… n-1

Matricea generală de transformare T=Tn-1...T2T1

va determina obţinerea unei matrici transformate T*A superior triunghiulară

function [A, b] = Gauss(A, b)

% triunghiularizare prin eliminare Gauss

% Intrări :

% A = matrice sistem

% b = vector termeni liberi

% Ieşiri :

% A = matrice sistem superior triunghiular

% b = termeni liberi sistem triunghiular

[n, n] = size(A);

for p = 1:n –1

[t,A(:,p)]=VecG(p,A(:,p));

for j=p+1:n

A(:,j)=TG(A(:,j),p,t);

end

b=TG(b,p,t);

end