Metoda celor mai mici pătrate generalizată

Descrierea metodei

Se considera sistemul descris de urmatoarea ecuatie cu diferente

(S) A yt B u t

D

× ( ) = × ( )+ × e( t )

1

, (1)

unde:

u(t) - marimea de intrare,

y(t) - marimea de iesire,

e(t) - zgomotul alb.

Modelul considerat are aceeasi structura ca si sistemul

A q yt Bq u t

D q

( ) ( ) ( ) ( ) t

( )

( ) - -

- 1 = 1 +

1

1

e (2)

unde:

u(t) - marimea de intrare,

y(t) - marimea de iesire,

e(t) - rezidul modelului,

A q a q a q

na

( ) ... na - -

Ù

-

Ù

1 = + + +

1

1 1 ,

B q b q b q

nb

( - ) - ... nb

Ù

-

Ù

1 = + +

1

1 ,

D q d q d q

nd

( - ) - ... nd

Ù

-

Ù

1 = + + +

1

1 1 .

Se noteaza cu

q1 = 1 1

é

ë ê

ù

û ú

Ù Ù a ana b bnb

T

....... ....... , (3)

61

q2 = [ 1 ] Ù d dnd

T

....... , q = [q1 q2 ]

T T T

,

vectorii care se estimeaza in timpul parcurgerii procedurii de identificare.

Functia criteriu utilizata este

V { [ ] }

N

t

N

c D q A q y t B q u t

t

N

t

N

(q1 ,q2 ) e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

1

1 1 1 2

1

1 1

= å = å -

=

- - -

=

(4)

Se observa ca Vc (q1 ,q2 ) este neliniara in raport cu q , dar liniara in raport cu q1 sau

q2. Pentru determinarea vectorilor 1

qˆ si 2

qˆ , care minimizeaza criteriul (4) se recurge la o

metoda de relaxare. Sa presupunem ca s-a ajuns la iteratia “i” moment in care se cunosc

estimatiile q

Ù -

1

i 1

si q

Ù -

2

i 1

. La fiecare iteratie se parcurg doua etape.

Etapa 1

In cadrul acestei etape pentru a determina estimatia q

Ù

1

i

se utilizeaza estimatia q

Ù -

2

i 1

determinata la iteratia anteriora, deci coeficientii polinomului D q

i Ù-

-

1

( 1 ) sunt cunoscuti.

Functia criteriu (4) devine

V [ ]

N

c D q A q y t B q u t

i

i

t

N

(q1 ,q ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

2

1

1 1 1 2

1

- 1 Ù -

- - -

=

= -

ìíî

üýþ

å (5)

Se noteaza cu

T

a b

i t y t y t n u t u t n úû

ù

êë é

j~ ( ) = - ~( - 1)........ - ~( - ˆ ) ~( - 1)....... ~( - ˆ ) (6)

unde:

~y(t k) Dˆ 1(q 1) y(t k ) i - = - - - ,

u~(t k) Dˆ 1(q 1)u(t k) i - = - - - .

Cu aceste notatii estimatia vectorului care contine coeficientii polinoamelor A si B la iteratia i

este

METODA CELOR MAI MICI PATRATE GENERALIZATA