Capitolul 1
CALCULUL ÎN VIRGULĂ MOBILĂ
1.1 Aritmetica în virgulă mobilă
Rezolvarea diferitelor probleme cu ajutorul calculatorului numeric depinde, într-o prima instanţă, de posibilitatea de a reprezenta numerele în maşina de calcul folosită. Această posibilitate depinde de tipul numerelor şi de structura constructivă (“hardware”) a echipamentului de calcul, anume: baza de reprezentare a numerelor (baza maşinii de calcul) şi lungimea cuvântului de memorie. Ca urmare, se poate reprezenta un număr finit de cifre în sistemul de numeraţie folosit. Din acest punct de vedere, numerele întregi şi cele reale suferă un tratament diferit, după cum se detaliază în continuare.
Astfel, numerele întregi reprezentabile în calculator, care formează mulţimea notată cu I, constituie o submulţime finită a mulţimii numerelor întregi Z: . Reprezentarea acestor numere este exactă, iar aritmetica cu aceste numere este de asemenea exactă, excepţie facând operaţia de împărţire, în general.
Astfel, domeniul valorilor întregi reprezentabile în calculatorul numeric este:
unde mărimile şi depind de următoarele: spaţiul de memorie pus la dispoziţie pentru acest tip de numere, baza de numeraţie folosită, precum şi modul de reprezentare a acestor numere. Notând cu baza de reprezentare a numerelor întregi şi cu numărul de cifre în baza care pot fi reprezentate pe un cuvânt sau multiplu de cuvânt de memorie, se pot scrie relaţiile:
Dacă baza de numeraţie este doi şi sunt cifre binare, atunci domeniul de reprezentare pentru numere întregi este cuprins între şi . Dacă numărul de cifre binare este , atunci domeniul de reprezentare este cuprins între şi .
Încercarea de a opera cu numere care nu aparţin domeniului I de reprezentare, determină, la majoritatea calculatoarelor numerice, emiterea unor mesaje de eroare fatală, programele implicate fiind abandonate: “depăşire (binară) inferioară” (dacă ), respectiv “depăşire (binară) superioară” (dacă ).
Uzuală este reprezentarea în baza de numeraţie doi, alocându-se o cifră binară pentru semn şi cifre pentru număr, anume reprezentarea în cod complementar faţă de baza definită astfel:
Spre deosebire de numerele întregi, în general numerele reale se reprezintă aproximativ în calculatorul numeric. În continuare se definesc două submulţimi ale numerelor reale şi anume:
• submulţimea G care conţine numerele reale care s-ar putea reprezenta în calculatorul numeric;
• submulţimea F care conţine numerele reale care se reprezintă efectiv în calculatorul numeric.
În timp ce mulţimea G, ca şi mulţimea numerelor reale , are un număr infinit de elemente, mulţimea F are un număr finit de elemente, relaţia care se poate scrie între aceste mulţimi fiind: . Metoda cea mai larg folosită pentru reprezentarea numerelor reale în calculator, numere care aparţin mulţimii F, este cea a virgulei mobile.
Definiţie:
Prin aritmetica virgulei mobile se înţeleg următoarele:
(a) un model matematic de reprezentare a numerelor (definirea mulţimii F);
(b) o modalitate de reprezentare a numerelor din mulţimea G în calculatorul numeric, altfel spus o modalitate de implementare în calculator a modelului (definirea operatorului de rotunjire, notat cu fl);
(c) operaţiile elementare: adunarea, scăderea, înmulţirea şi împărţirea definite cu numerele mulţimii F.
Acestea sunt detaliate în secţiunile următoare ale acestui subcapitol.
1.1.1 Numere în virgulă mobilă
Conceptul de număr în virgulă mobilă se poate introduce prin exemplul următor.
Exemplul 1.1:
Fie numărul real . Acesta se poate scrie şi sub următoarele forme:
Corespunzător ultimei forme scrise, se denumesc şi se notează următoarele elemente:
• mantisă (fracţie), notată cu f, reprezentând numărul fracţionar;
• exponent, notat cu e, reprezentând exponentul la care este ridicată baza de numeraţie folosită;
• baza de numeraţie, notată cu , în cazul de faţă egală cu 10;
• numărul cifrelor mantisei, notat cu litera t.
Rezultă, aşadar, că poziţia virgulei poate fi modificată, cu adaptarea corespunzătoare a exponentului. Din acest punct de vedere, se spune că numerele întregi tratate anterior sunt reprezentate în virgulă fixă.
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
