Calculul determinantului de ordin N

Lucrarea de faţă prezintă o aplicaţie practică în matematică, mai specific în algebră şi calculul determinantului de ordin n. În practică, mai ales la şcoală, ne întâlnim deseori cu probleme în care trebuie să rezolvăm anumite sisteme de ecuaţii sau alte probleme în care trebuie să calculăm determinantul unei matrice. În general determinanţii de ordin mica se pot calcula uşor dar odată cu creşterea ordinului devine din ce în ce mai greu. De aceea s-a experimentat calculul determinanţilor cu ajutorul calculatorului prin crearea de programe specializate.

Programele de acest fel permit experimentarea unor situaţii, care ar fi dificil sau imposibil de realizat în practică. Simulările pot fi mai instructive atunci când sunt utilizate pentru a ilustra idei şi experimente explorate în prealabil prin alte mijloace - idei, teste, discuţii chestionare.

Aceste programe pot fi de asemenea utilizate în statistici ale unor date la anumite nivele, în realizarea unor reuniri care sunt prea costisitoare, complicate sau mari consumatoare de timp.

Acest tip de programe asigură simularea unor situaţii, modele, în care rezultatele finale să fie obţinute din deciziile proprii ale utilizatorului aplicându-se la orice nivel.

Ghidaţi după datele furnizate de program, se pot selecta anumite opţiuni sau alege anumite situaţii şi apoi se obţin rezultatele deciziilor.

O utilizare în creştere o au programele prin care se caută anumite statistici a diferitelor procese şi fenomene, păstrându-se interacţiunea dintre utilizator şi calculator.

Programul nostru va calcula un determinant de ordin n prin metoda triangularizării matricei sale

2. Matrice

2.1. Noţiuni introductive

Sistemele de ecuaţii liniare sunt un ansamblu de mai multe ecuaţii algebrice de gradul întâi cu mai multe necunoscute.

Studiul acestora este foarte important pentru matematică. Sistemele de ecuaţii liniare pot avea un număr diferit de ecuaţii şi de necunoscute. Fie un sistem de m ecuaţii cu n necunoscute. Convenim să notăm necunoscutele cu x1, x2, xn, coeficientul cu care apare necunoscuta xj din ecuaţia a i-a prin aij, iar membrul al doilea (numit termenul liber) din ecuaţia a i-a prin bi. Cu aceste notaţii, sistemul de ecuaţii liniare se scrie sub forma generală:

(1)

Sistemul (1) poate fi scris condensat sub forma:

(1’)

Pentru a rezolva astfel de sisteme un rol important îl au tablourile formate cu coeficienţii ecuaţiilor. Tablourile formate cu aceste numere se numesc matrice.

Coeficienţii necunoscutelor formează o matrice cu m linii şi n coloane:

(2)

numită matricea coeficienţilor sistemului sau, simplu, matricea sistemului. Matricea cu m linii şi n+1 coloane

(3)

care se obţine adăugând la coloanele matricei A coloana termenilor liberi b1, b2, , bm, se numeşte matricea extinsă a sistemului.

Un sistem de numere 1, 2, , n, se numeşte soluţie a sistemului (1), dacă înlocuind necunoscutele x1, x2, , xn respectiv prin aceste numere, toate ecuaţiile acestui sistem sunt verificate, adică:

(4)

2.2. Noţiunea de matrice

Notăm cu C, mulţimea numerelor complexe.

Fie M = {1, 2, , m}, N = {1, 2, , n} mulţimea primelor m, respectiv n, numere naturale nenule. Vom numi matrice de tipul (m,n) o funcţie A : M x N - C. Dacă notăm A(i,j) = aij  C, i  M, j  N, vom nota pe A sub forma:

adică printr-un tablou cu m linii şi n coloane ce cuprinde valorile funcţiei A. Datorită acestei notaţii, în loc de matrice de tipul (m,n) se mai spune matrice cu m linii şi n coloane. Numerele aij se numesc elementele matricei A. De multe ori pentru matricea A se mai foloseşte notaţia prescurtată:

B. Pătruţ, M. Miloşescu, Informatică (cls a IX-a), ed. Teora, 1999

Tudor Sorin, Turbo Pascal (cls a IX-a), ed. L&S Infomat

Internet

Turbo Pascal 6.0, Ghid de utilizare, ed.Microinformatica

C. Mihu, Metode numerice în algebra liniară, ed. Tehnică

Matematică, Elemente de algebră superioară, clasa a XI-a, ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1987